Métodos numéricos para ingenieros. La descomposición de Cholesky

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Ingeniería Civil

Análisis Estructural II

Trabajo N°1

Clisman Ronaldo Rodriguez Ramos

Semestre VIII

2024-1

"El alumno declara haber realizado el presente trabajo de acuerdo a las normas de la Universidad Católica San Pablo"

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Capítulo 1 INTRODUCCION Y OBJETIVOS

Introducción

La descomposición de Cholesky también conocida como factorización de Cholesky, es un procedimiento matemático que se aplica a matrices definidas positivas y hermitianas. Consiste en descomponer una matriz en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta conjugada. Dicha descomposición es especialmente útil para soluciones numéricas eficientes, como las que se suelen utilizar en simulaciones de Monte Carlo.

Objetivos

Conocer el método Cholesky. Comparar el método.

Capítulo 2 MARCO TEÓRICO

Existen diferentes métodos para factorizar matrices cuadradas (A) en el producto de dos matrices triangulares super e inferior de la forma A=U*L, para el uso en la solución de sistema de ecuaciones.

Método Cholesky

Historia.

Dicha factorización fue descubierta por el matemático francés André-Louis Cholesky (1875-1918) la cual lleva su nombre. Hizo estudios de geodesia y cartografía

además de desarrollar la descomposición matricial que lleva su nombre la cual ayudo en dichos estudios.

Fundamentos Teóricos.

La descomposición de Cholesky de una matriz definida positiva hermítica A, es una descomposición de la forma A = LL* donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales reales y positivas, y L* denota la transpuesta conjugada de L. Cada matriz definida positiva hermitiana (y, por lo tanto, también cada matriz definida positiva simétrica de valor real) tiene una descomposición de Cholesky única.

Lo contrario es trivial: si A se puede escribir como LL* para alguna L invertible, triangular inferior o de otro tipo, entonces A es hermítica y definida positiva. Cuando A es una matriz real (por lo tanto, simétrica definida positiva), la factorización se puede escribir A = LLT donde L es una matriz triangular inferior real con entradas diagonales positivas.

- Matrices semi definidas positivas: Si una matriz hermitiana A es solo semi definida positiva, en lugar de definida positiva, entonces todavía tiene una descomposición de la forma A = LL* donde las entradas diagonales de L pueden ser cero. La descomposición no necesita ser única, por ejemplo: Sin embargo, si el rango de A es r, entonces hay un L triangular inferior único con exactamente r elementos diagonales positivos y columnas n−r que contienen todos ceros. Alternativamente, la descomposición se puede hacer única cuando se fija una opción pivotante. Formalmente, si A es un n × n matriz semi definida positiva de rango r, entonces hay al menos una matriz de permutación P tales que P*A*P

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