Metodo Numerico

Método de Newton

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton-Raphson es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", publicado en 1690, que contenía este método para aproximar raíces. Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método, en 1671, pero no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado 46 años antes. Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció posteriormente.

Método Quasi -Newton

En la optimización, métodos cuasi - Newton ( un caso especial de los métodos de métricas variables ) son algoritmos para la búsqueda de máximos y mínimos locales de funciones . Métodos cuasi - Newton se basan en el método de Newton para encontrar el punto estacionario de una función, donde el gradiente es 0 . El método de Newton asume que la función se puede aproximar localmente como una ecuación cuadrática en la región alrededor de la óptima, y utiliza la primera y la segunda derivadas para encontrar el punto estacionario. En dimensiones más altas, el método de Newton utiliza el gradiente y la matriz de Hesse de segunda derivadas de la función a ser minimizadas.

En los métodos cuasi - Newton no necesita ser calculado la matriz de Hesse . La Arpillera se actualiza mediante el análisis de vectores de gradiente sucesivas lugar. Métodos cuasi - Newton son una generalización del método de la secante para encontrar la raíz de la primera derivada para problemas multidimensionales. En múltiples dimensiones de la ecuación secante está suficientemente determinada, y los métodos cuasi -Newton se diferencian en la forma en que limitan la solución, por lo general mediante la adición de una simple actualización de bajo rango para la estimación actual de la arpillera.

El primer algoritmo quasi -Newton fue propuesta por el WC Davidon , un físico que trabaja en el Laboratorio Nacional de Argonne . Desarrolló el primer algoritmo quasi -Newton en 1959: la fórmula de actualización de DFP , que luego fue popularizado por Fletcher y Powell en 1963, pero rara vez se utiliza hoy en día . Los algoritmos cuasi -Newton más comunes son actualmente la fórmula SR1 (para un rango simétrico), el método BHHH, el método BFGS generalizada (se sugiere de forma independiente por Broyden , Fletcher , Goldfarb y Shanno , en 1970) , y su ampliación de memoria baja , L - BFGS . La clase de Broyden es una combinación lineal de los métodos y DFP BFGS.

El método de la secante

Un problema potencial en la implementación del método de Newton es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios no para muchas otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante el siguiente cociente incremental:

Entonces, la fórmula para calcular el valor aproximado de la raíz en la iteración n+1 es:

El algoritmo que se obtiene al aplicar esta fórmula se conoce como el método de la secante. Si bien este método requiere de dos valores iniciales, no es necesario que f(x) cambie de signo entre los valores dados.

Gráficamente, el método de la secante, en lugar de aproximar la función en cada iteración por una recta tangente para determinar un cero, lo hace utilizando una recta secante.

Análisis del error

Se puede demostrar que el error en la iteración n+1 está dado por:

Como se puede apreciar, el error en la iteración n+1 es proporcional al producto de los errores de las dos iteraciones previas. Además, este error es ligeramente mayor que el que se comete en el método de Newton. Por lo tanto, su orden de convergencia será menor.

Diferencia entre los métodos de la secante y de Regula - Falsi

Como se puede observar, las expresiones que permiten calcular cada aproximación en los métodos de la secante y Regula - Falsi son idénticas en todos los términos. Ambas usan dos valores iniciales para calcular una aproximación de la pendiente de la función que se utiliza para proyectar hacia el eje x una nueva aproximación de la raíz. Sin embargo, existe una diferencia importante entre ambos métodos. Esta diferencia radica en la forma en que uno de los valores iniciales se reemplaza por la nueva aproximación. En el método de Regula - Falsi, la última aproximación ri de la raíz reemplaza cualquiera de los valores iniciales que dé un valor de la función con el mismo signo que f(ri). En consecuencia, las dos aproximaciones siempre encierran a la raíz. Por lo tanto, para todos los casos, el método siempre converge debido a que la raíz se encuentra dentro del intervalo.

En contraste, el método de la secante reemplaza los valores en secuencia estricta: el nuevo valor ri+1 sustituye a ri y ri reemplaza a ri-1. Por lo tanto, algunas veces los dos valores están en el mismo lado de la raíz, lo que puede llevar, en ciertos casos a divergencias.

Ventajas y desventajas

Aunque el método de la secante

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