Metodos Numericos

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CM-3201 MÉTODOS NUMÉRICOS

Profesor: Ing. Marvin Hernández

GAUSS-SEIDEL, JACOBI, RELAJACIÓN Y CONVERGENCIA

I Semestre 2004

Métodos Iterativos para Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales

Introducción

Los métodos numéricos se dividen en dos categorías generales: métodos exactos y aproximados. Los primeros, como su nombre lo indica, buscan dar resultados exactos. No obstante, como están afectados por errores de redondeo, algunas veces dan resulta¬dos imprecisos. La magnitud del error de redondeo varía en cada sistema y depende de varios factores, tales como las dimensiones del sistema, su condición y el hecho de sí la matriz de coeficientes es dispersa o densa. Además, la precisión de la computadora afec¬tará el error de redondeo.

Se recomienda una estrategia de pivoteo en todo programa de computadora que realice métodos de eliminación exactos. Esa estrategia minimiza el error de redondeo y evita problemas como el de la división entre cero. Los algoritmos basados en la descom¬posición LU son los métodos que se eligen debido a su eficiencia y flexibilidad.

La tabla 1 ofrece un resumen de las ventajas y desventajas en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Dos métodos (el gráfico y la regla de Cramer) están limitados a pocas ecuaciones(< 3), de modo que tienen escasa utilidad para resolver problemas prácticos. Sin embargo, dichas técnicas son herramientas didácticas útiles para entender el comportamiento de los sistemas lineales en general.

Aunque los métodos de eliminación tienen gran utilidad, el uso de toda la matriz de los coeficientes puede ser limitante cuando se trate con sistemas dispersos muy grandes. Esto se debe a que gran parte de la memoria de la computadora se dedicaría a guardar ceros que no tienen significado. Para sistemas bandeados, hay técnicas para realizar métodos de eliminación sin tener que guardar todos los coeficientes de la matriz.

La técnica aproximada por conocer como método de Gauss-Seidel, difiere de las técnicas exactas porque emplea un esquema iterativo para obtener, progresivamente, estimaciones más cercanas a la solución. El efecto del error de redondeo es un punto discutible en el método de Gauss-Seidel, ya que se pueden continuar las iteraciones hasta que se obtenga la precisión deseada. Además, se pueden desarrollar versiones del método de Gauss-Seidel para utilizar de manera eficiente los requerimientos de almacenaje en computadora con sistemas dispersos. En consecuencia, la técnica de Gauss-Seidel es útil para grandes sistemas de ecuaciones, donde los requerimientos de almacenaje podrían llevar a problemas significativos con las técnicas exactas

Aplicaciones

Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver sistemas lineales de dimensión pequeña ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas como el método de eliminación Gaussiana. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, estas técnicas son suficientes en términos de almacenamiento en la computadora y del tiempo requerido.

Los métodos de este tipo surgen frecuentemente en los sistemas con ecuaciones diferenciales, donde encontraríamos aplicaciones en todas las ramas de la ingeniería, así como en las Ciencias Sociales y la Economía. Estos métodos son útiles en la predicción del clima, donde el volumen de variables amerita el uso de extensas matrices.

Justificación

Una forma de entender el uso de los métodos numéricos y su utilidad es precisamente comparándolos con los métodos directos, esta comparación se realiza en términos de operaciones realizadas, tales como sumas, restas, divisiones y multiplicaciones. Por tanto el entendimiento de esto conlleva a su uso práctico. Las siguientes tablas muestran las diferencias en cálculo de los métodos directos de Gauss y Gauss-Jordan.

Tabla 2: Total de operaciones en el método de Eliminación de Gauss

N Multiplicaciones/Divisiones

Sumas / restas

3 17 11

10 430 375

50 44150 42875

100 343300 338250

Tabla 3: Total de operaciones en el método de Eliminación de Gauss-Jordan

n Multiplicaciones/Divisiones

Sumas / restas

3 21 12

10 895 495

50 64975 62475

100 509950 499950

Tabla 4: Operaciones por iteración en los métodos Iterativos

n Multiplicaciones-Divisiones

*por iteración Sumas / restas

*por iteración

3 17 12

10 199 90

50 4999 2450

100 19999 9900

De la Tabla 4 podemos notar que n  50 los métodos iterativos empezarían a ser más efectivos que los métodos directos. Nótese, también que los cálculos en esta tabla corresponden a una iteración por tanto para que el método sea efectivo, dos aspectos deben ser tomados en consideración

1. La precisión requerida de los resultados

2. De la aproximación inicial que se escoja.

Marco Conceptual

Antes de considerar los métodos iterativos para resolver sistemas lineales, es necesario encontrar un método para medir cuantitativamente la distancia entre vectores, para poder determinar cuando la sucesión de vectores que resulta al usar una técnica iterativa converge a la solución.

Norma vectorial: esta se define como la suma de las magnitudes de los componentes de un vector columna de dimensión n con componentes reales, esta definición en notación matemática se escribe como:

x = y la norma de x seria || x || =

Esta definición de norma es útil cuando se quiere saber la magnitud de las componentes de un vector. Pero cuando esta se aplica a los métodos numéricos es mejor utilizar el concepto de norma infinita, la cual es útil como criterio de paro para una aproximación. Esta se define como sigue:

Una técnica iterativa para resolver un sistema lineal Ax = b de n x n empieza con una aproximación inicial x(k) a la solución x, y genera una sucesión de vectores { x(k)}k = 0 hasta que se logre la aproximación requerida, que en términos de vectores se expresa como, { x(k)}k = .

La mayoría de estas

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