NOCIONES DE LÓGICA

NOCIONES DE LÓGICA

Proposición

Una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa.

Notación : simbólicamente se usan letras para designar proposiciones p, q, r, t, s, ...

Ejemplos:

p : Todo triángulo equilátero es isósceles.

s: 2+3 = 5

q : El concepto de función es uno de los más importantes en Matemática.

r : El producto de dos números reales es otro número real.

Conectivos y proposiciones compuestas

Las proposiciones pueden combinarse por medio de conectivos lógicos, se obtienen de esta forma nuevas proposiciones, llamadas proposiciones compuestas. Las operaciones lógicas son:

 Negación

Si p es una proposición, la negación de p es la proposición “no p”, denotada por (–p).

Su tabla de verdad viene dada por:

p - p

V F

F V

Ejemplo:

p : 2< 3

- p : 2 3

q: Hoy es lunes

-q: Hoy no es lunes, o también podemos decir: No es cierto que hoy es lunes.

 Conjunción

Si p y q son proposiciones, la conjunción de p y q es la proposición “p y q”, que se anota (p q).

Su tabla de verdad viene dada por:

p q p q.

V V V

V F F

F V F

F F F

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

p: 4 > 3

q: 7 > 0 . Escriba la proposición compuesta (p q), y encuentre su valor de verdad.

......................................................................................................................................................

Nota: En algunos casos el conectivo lógico pero, es usado en lugar de y para dar una clase diferente de énfasis a la proposición. Ej. Juan quiere viajar el lunes pero Miguel quiere el martes.

 Disyunción

Si p y q son proposiciones, la disyunción de p con q es la proposición “p o q”, que se anota (pvq).

Su tabla de verdad viene dada por:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Normalmente esta operación significa “p o q, o ambas”. Con este significado de (p v q) se denomina disyunción inclusiva, o simplemente disyunción.

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

p: Hoy cursamos Álgebra

q: Hoy cursamos Química

Escriba la proposición compuesta (p v q), y encuentre su valor de verdad.

......................................................................................................................................................

Ejercicios:

1. Suponga que p es falsa, q es verdadera y r es falsa ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición compuesta : -p (q v -r).

....................................................................................................................................................................

2. Complete la tabla de verdad de la proposición compuesta: (-p q) v –q

p q (-p q) v –q

V V

V F

F V

F F

3. Complete la siguiente tabla de verdad

p q p (-q v q)

Proposiciones equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en toda situación posible.

¿Son equivalentes las siguientes proposiciones compuestas? Completar la tabla para responder.

a) (-p -q) y –(p v q)

p q –(p v q -p -q

Luego (-p -q) –(p v q)

b) (-p -q) y –(p q)

p q -p -q

–(p q)

Completar:

Luego ...................................................................................................................................................

 Condicional

Si p y q son proposiciones, la implicación de p, q (en ese orden) es la proposición “Si p entonces q”, que se anota p q.

La tabla de verdad es un poco más difícil que las anteriores.

La veremos con un ejemplo:

Si llueve entonces voy al cine

Como siempre existen cuatro posibilidades para combinar los valores de verdad de las dos proposiciones.

El único caso en que esto será falso es en el caso en que llueva y no vaya al cine, ya que no estoy cumpliendo con lo que se ha dicho.

Su tabla de verdad viene dada por:

p q p q.

V V V

V F F

F V V

F F V

A la proposición p se la denomina antecedente (o hipótesis) y a q consecuente (o tesis.

En expresiones cotidianas el conectivo condicional suele

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