NUMEROS COMPLEJOS Y PROPIEDADES

VECTORES Y SU REPRESENTACIÓN NUMÉRICA

En la figura observamos un vector dibujado en un sistema cartesiano. Este vector se puede representar numéricamente de diversas formas. Los métodos más empleados son la representación cartesiana y la representación polar.

[pic 1]

En la representación cartesiana, el vector r se definirá por sus componentes cartesianos y los vectores unitarios en dirección de cada eje cartesiano,

[pic 2]

En la representación polar, el vector r se define por la magnitud del mismo y el ángulo que hace respecto al eje x positivo, es decir,

[pic 3]

La correlación entre la representación polar a partir de la representación cartesiana parte del triangulo formado por el vector r y sus componentes, con lo cual se puede obtener la magnitud de mismo,

[pic 4]

De igual forma se puede obtener el ángulo de la representación polar a partir de los componentes del vector en su representación cartesiana,

[pic 5]

Por otro lado, si se tiene la representación polar, y se quiere obtener la representación cartesiana de un vector, basta con descomponer el vector en sus componentes,

[pic 6]

[pic 7]

NUMEROS COMPLEJOS PARA REPRESENTAR VECTORES

La forma como representaremos vectores a lo largo del curso de mecanismos es empleando la representación polar, pero en vez de descomponer los vectores utilizando trigonometría, se va a emplear la identidad del exponencial de números complejos.

En cálculo se demuestra que la función exponencial se puede escribir como una sumatoria infinita de la forma,

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Si el número x es un número complejo puro, y sus potencias pares son,  y , mientras que las potencias impares son,  y   la sumatoria se puede escribir como,[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

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O, utilizando las definiciones de Taylor para seno y coseno,

[pic 14]

[pic 15]

Con lo cual obtenemos la representación polar utilizando números complejos,

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Empleando esta identidad se obtienen de forma directa las representaciones cartesianas a partir de la representación con números complejos,

[pic 17]

En este caso el eje real corresponderá al eje x de la representación cartesiana, mientras que el eje imaginario está directamente relacionado con el eje y de la representación cartesiana.

PRODUCTO PUNTO ENTRE VECTORES

La definición del producto punto es bastante conocida. Sea a y b dos vectores no perpendiculares entre si ubicados en el plano, el producto punto se define como:

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Donde  es el ángulo comprendido entre ambos vectores.[pic 19]

En la representación polar de vectores, el producto punto es relativamente rápido de obtener, por cuanto el ángulo entre los dos vectores será la diferencia entre los dos ángulos,

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PRIMERA DERIVADA DE VECTORES

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Sea una partícula que se mueve en el plano y describe una trayectoria como se ilustra en la figura. La posición de dicha partícula estará determinada en todo momento por el vector de posición r. La derivada de r, empleando la notación de números complejos, será,

[pic 22]

En este punto vale la pena evaluar la derivada del vector unitario, , para ello se emplearán la derivada de una función exponencial y la definición del exponencial de número complejos. Partiendo de la derivada de un exponencial,[pic 23]

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Este mismo resultado se pudo haber obtenido derivando la definición del exponencial de un número complejo,

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Hasta aquí no hay nada novedoso, sin embargo, si utilizamos las siguientes identidades trigonométricas,

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Se obtendrá un resultado bastante útil para analizar gráficamente las velocidades presentes en un mecanismo,

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Regresando a la derivada de un vector que describe la trayectoria de una partícula libre en el plano, se obtiene la primera derivada como,

[pic 29]

Es más, en esta expresión se distinguen dos vectores unitarios que describen el movimiento en coordenadas polares, , que es paralelo al vector r, por lo que se conoce como la dirección radial, y  que es perpendicular al vector r y se conoce como dirección tangencial. Por lo anterior, la velocidad de la partícula en el punto r estará determinada por la velocidad radial, , y la velocidad tangencial . [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

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SEGUNDA DERIVADA DE VECTORES

La segunda derivada del vector posición corresponde a la aceleración del punto en consideración, para este caso se obtendrá,

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Reorganizando términos,

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En este caso se sabe de dinámica que los términos que se tienen en dicha expresión son  conocida como aceleración radial y representa la aceleración debida al cambio en la magnitud del vector r y la dirección de la misma aceleración es paralela al radio, ,  conocida como aceleración centrípeta y apunta hacia el origen del sistema de referencia en dirección radial, , conocida como aceleración tangencial, y por último se tiene la aceleración de coriollis, , la cual se produce cuando un cuerpo o punto se traslada sobre un sistema que también se encuentra en rotación. [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

SISTEMAS LINEALES

Un sistema lineal es aquel donde las variables desconocidas se suman entre si empleando coeficientes escalares y donde solo aparecen con términos de primer grado de polinomio, es decir, no aparecen términos cuadráticos y ni orden superior en las incógnitas de la expresión. Un ejemplo típico de un sistema lineal es aquel que tiene dos ecuaciones con dos incógnitas,

[pic 42]

[pic 43]

Una característica de los sistemas lineales es que se pueden organizar de forma matricial, creando una matriz y dos vectores, la matriz A llamada matriz de coeficientes, el vector x conocido como vector de las incógnitas y el vector de términos independientes b,

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