NUMEROS COMPLEJOS

Números Complejos

Unidad imaginaria: Se llama así al número y se designa por la letra i.

Números imaginarios: Un número imaginario se denota por bi, donde b es un número real, e i es la unidad imaginaria. Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

i22 = (i4)5 • i2 = − 1

Números complejos en forma cartesiana:

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma cartesiana.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa por el punto (a,b).

Operaciones con números complejos en la forma cartesiana

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo: (5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) • (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo: (5 + 2i) • (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

Ejemplo:

...