NUMEROS COMPLEJOS

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Los algebristas de los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo x^2+1=0 , se encontraron con x=±√(-1).

Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de "definir" nuevos números de la forma: a+b.i donde a y b son números reales e i es √(-1) , que permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos nuevos números se llaman números complejos (ℂ).

Ejemplo:

La ecuación de segundo grado: x^2-6x+34=0 tiene como solución: x=((6±√(-100)))/2

Que expresaremos como: x=(6±10.i)/2=3±5.i

Se llama número complejo a toda expresión de la forma z=a+b.i donde a y b son números reales; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: i=√(-1) o i^2=-1; a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo.

Si a = 0, el número complejo 0 + b.i = b.i, es un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene el número real

a + 0.i = a

Dos números complejos son iguales si: (a + b.i) = (c + d.i)  a = c; b = d es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado.

Un número complejo es igual a cero si: a + b.i = 0  a = 0; b =0

Ejercicios 1.1

1)

Graficamente el afijo del numero complejo

(z_1+z_2)/2=(x_1+x_2)/2+i (y_1+y_2)/2

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo

del numero complejo z_1+z_2

∙los puntos de la forma 〖Az〗_1+〖μz〗_2 son los puntos de la recta

λz_1+μz_2=(1-μ) z_1+μz_2=z_1+μ(z_2-z_1 )

es decir,la recta que pasa por z_1 y cuyo vector director es z_2-z_1

2)

(z_3-z_1)/(z_2-z_1 )=(|z_3-z_1 |e^(iarg(z_3-z_1)))/(〖|z〗_2-z_1 |e^(iarg(z_3-z_1)) )=e^(π⁄3^i )

(z_1-z_2)/(z_3-z_2 )=(|z_1-z_2 |e^(iarg(z_1-z_2)))/(〖|z〗_3-z_2 |e^(iarg(z_3-z_1)) )=e^(π⁄3^i )

Ya que

arg(z_3-z_1 )=arg(z_2-z_1 )+π/3

arg(z_3-z_2 )+π/3=arg(z_1-z_2)

Por lo tanto

(z_3-z_1)/(z_2-z_1 )=(z_1-z_2)/(z_3-z_2 )→z_(3^2 )-z_1 z_3-z_2 z_3+z_2 z_1=z_(2^2 )-z_(1^2 )+z_1 z_2→

→z_(1^2 )+z_(2^2 )+z_(3^2 )=z_1 z_2+z_1 z_3+z_2 z_3

3)

Los angulos que forman 2 lados de un triangulo quilatero son de π/3 radianes, luego hay quie avanzar π/2+π/3=2π/3. Por lo tanto, como uno de los 2 vertices es z_1=1=e^2πi, se tiene que

z_2=e^2πi e^(2πi⁄3)=e^(2πi⁄3)=cos 2π/3+isen 2π/3=(-1)/2+√3/2 i

z_3=e^2πi e^(2πi⁄3) e^(2πi⁄3)=e^(4πi⁄3)=cos 4π/3+isen 4π/3=(-1)/2+√3/2 i

Son los otros dos. En forma binomica

(1,0)((-1)⁄2,√3/2),((-1)⁄2,-√3/2)

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS.

ADICCIÓN

Dados los complejos

Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

SUSTRACCIÓN

Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo:

Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

MULTIPLICACIÓN

Dados los complejos

Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

POTENCIACIÓN

La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2…… (a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

FORMA BIÓNOMICA

La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA BINOMICA:

La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.

+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i

-(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i

MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

DIVISIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di) =((ac+bd)(bc-ad)i)/(c^2+d^2 )=(ac+bd)/(c^2+d^2 )+ (bd-adi)/(c^2+d^2 )

(3+2i)+8-7-i)=(3-7)+(2i-i)=-4+i

=(5+3i)+{(-1+2i)+(7-5i)}

=(5+3i)+{(-1+7)+(2i-5i)}

=(5+3i)+(6-3i)

=(5+6)+(3i-3i)

=11

Ejercicios:

1)

((3+2i)∙(1+2i))/((1-2i)∙(1+2i) )=(3+6i+2i+4i^2)/(1-(2i)^2 )=

=(3+8i-4)/(1+4)=-1/5+8/5 i

2)

=(2+3i)(2-2i)=(2+3i)2+(2+3i)(-2i)

=4+6i-4i+6i^2

Agrupando los mismos términos y aplicando la propiedad i^2=-1 obtenemos,

=4+6i-4i+6

=10+2i

3)

=[(8+4i)÷(1-i├ )]

=[(8+4i)(1+i)]÷[(1-i)(1+i)]

=[8+4i+8i+4i^2 ]÷[1-i+i-i^2 ]

=+(4+12i)÷(2)

=2+6i

1.3 POTENCIAS DE “I”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO.

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

i^0=1

i^1=i

i^2=-1

i^3=-i

i^4=1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia

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