Notação e fórmula

Notação e fórmula[editar | editar código-fonte]

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

{\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k

Os coeficientes {n \choose k} são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, onde n e k são inteiros, k\leq n e x! = 1 \times 2 \times \ldots x é o fatorial de x.

O coeficiente binomial {n\choose k} corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.

O triângulo de Pascal[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Triângulo de Pascal

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais \begin{matrix} {n\choose k} \end{matrix}, onde n representa o número da linha (posição vertical) e k representa o número da coluna (posição horizontal).

A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.

O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

O triângulo de Pascal.

{n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}={n\choose k}

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

{\left(x + y\right)}^2 = x^2y^0 + 2x^1y^1 + x^0y^2

{\left(x + y\right)}^3 = x^3y^0 + 3x^2y^1 + 3x^1y^2 + x^0y^3

{\left(x + y\right)}^4 = x^4y^0 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 + 4x^1y^3 + x^0y^4.

Demonstração do teorema do Binômio de Newton[editar | editar código-fonte]

Antes de começar, vale lembrar que:

\sum_{k=0}^{n-1} a_k=\sum_{k=1}^n a_{k-1} (1)

Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k

Demonstraremos por indução matemática.

Base:

n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0

n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1

Recorrência:

Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:

Da hipótese de indução:

(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,

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