Numero Complejos

INSTITUTO TECNOLOGICO

de Lázaro Cárdenas.

ALGEBRA LINEAL

INVESTIGACION 1.

NUMEROS COMPLEJOS

NOMBRE DEL ALUMNO:

APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)

URUE MARROQUIN PATRICIA GORETTI

SEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE DE 2012.

SALON: D4. CONTADOR PUBLICO.

FECHA DE ENTREGA: 29 DE AGOSTO DEL 2012.

Unidad I - Números complejos

1.1. Definición y origen de los números complejos

Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron re-legadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la ´época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porqué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del ´algebra. Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación:

x² + x + 5 = 0

Los números complejos, se expresan a través de la suma de un número real y un número imaginario. Al entero real se le denomina parte real del número complejo y al número imaginario se le llama parte imaginaria del número complejo.

Una de las muchas formas de expresar a los números complejos sería:

Z = Re ( Z ) + Im( Z )

Algunos ejemplos de esta representación son:

Z₁ = 3 + 2i

Z ₂ = -5 + 7i

Donde Re ( Z ) y Im ( Z ) pueden ser racionales o irracionales.

Los números complejos existen para cubrir un aspecto que los números reales no son capaces de solventar. Por ejemplo, a través de los números reales no podemos expresar las raíces pares de un número negativo, por ejemplo:

x² +1 = 0

Fue entonces que Leonhard Euler en 1777 introdujo el concepto de numero imaginario al asignar la raíz de un número negativo:

i = -1

De esta manera, los números imaginarios son capaces de expresar todas las raíces de un polinomio, raíces reales y raíces imaginarias.

Una definición formal de un número complejo sería:

Numero complejo Sea donde Z a bi donde a, bR e i1, a esto se le denomina número complejo, para el cual, a es la parte real de Z y b es la parte imaginaria de Z. A esta representación de un número complejo se le llama forma rectangular de un número complejo.

La forma rectangular de un número complejo tiene algunas variantes. Si se especifica que Z es un número complejo, puede ser expresado en su forma rectangular como sigue:

Z= 3 + 2i = 3 + 2j = (3, 2)

Dada esta última representación de un número complejo como par ordenado ( a, b) donde a Re Z y b Im Z podemos representar gráficamente un número complejo usando el diagrama de Argand, el cual es muy similar al plano cartesiano. En el eje horizontal escribimos la magnitud de la parte real (Re) mientras que en la parte vertical anotaremos las magnitudes de la parte imaginaria ( Im ) . En estos ejes, tendremos tanto las magnitudes positivas como negativas.

Si Z = (3, 2) tendremos 3 unidades en la parte real y 2 unidades en la parte imaginaria. Si las ubicamos

en el plano de Argand tendremos lo que se muestra en la Figura 1

2.0 (3,2)

1.5

1.0

0.5

0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Figura 1. Representación gráfica de Z=3+2i

En este plano, básicamente tenemos representados dos números complejos. Si consideramos que:

a = (3, 0)

b = ( 0, 2)

Z = a + b = 3 + 2i

Tenemos dos números a y b, donde a es un real puro (un número complejo cuya parte imaginaria es cero) y b es un imaginario puro (número complejo cuya parte real es cero).

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

Con los números complejos somos capaces de realizar algunas operaciones fundamentales como lo son, la suma, la resta, multiplicación, división, conjugado y módulo de un número complejo.

Para realizar estas operaciones vamos a considerar que el número complejo Z está representado en su forma rectangular (también llamada forma binómica).

Suma de números complejos

La suma de números complejos sigue un método muy sencillo. Si Z1 a bi y Z2 c di la suma de

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