Numeros Complejos

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado se analizó el signo del discriminante y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.

Multiplicación por un escalar. donde .

Ejemplo. Dados y , hallar:

a)

b)

c)

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .

Gráfica 1: Representación del número complejo .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :

Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Forma binómica de un número complejo

Sea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

Pero como y , entonces . En este caso se llama forma binómica o binomia del número complejo.

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

, puesto que son todos números reales.

porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si y , halle y .

Conjugado de un número complejo

Si es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si , entonces y si , entonces .

Módulo y argumento de un número complejo

Sea un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por y lo denotaremos por . El módulo se interpreta como la distancia al origen del número (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo , al ángulo comprendido entre el eje y el radio vector que determina a . El argumento de se denota por y se calcula mediante la expresión:

.

Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.

Propiedad:

Demostración:

División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:

Ejemplo. Dados y , halle: (a) y (b) .

(a) Como entonces

(b) Para hallar multiplicamos y dividimos por el conjugado .

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación es negativo, debe sustituirse el signo negativo por y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

Se puede ver que el discriminante es lo cual puede escribirse como . Por lo tanto:

Así, las raíces complejas de la ecuación son: y .

Ejercicios de la Sección 1.

1) Dados los números complejos y , halle:

(a) , (b) , (c) , (d) , (e) .

2) Muestre que es el elemento neutro para la suma de números complejos.

3) Muestre que es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.

4) Calcule:

(a) , (b) , (c) , (d) , (e) .

5) Calcule:

(a) , (b) , (c) , (d) .

6) Dado el número complejo halle el par tal que . Al par se le llama inverso multiplicativo de . Concluya que el par es único y que el no tiene inverso multiplicativo.

7) Verifique que .

8) Verifique que y son conjugados.

9) Calcule:

(a) , (b) .

10) Resuelva la ecuación .

11) Halle tal que .

12) Calcule y represente en el plano complejo los números , tales que:

(a) , (b) .

13) Calcule y represente en el plano complejo los números tales que:

(a) , (b) , (c) .

14) Resuelva la ecuación cuadrática .

15) Resuelva la ecuación cuadrática .

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