Numeros Complejos

Los inicios del álgebra

Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.

Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Por qué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano?

Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra. Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos.

Por ejemplo la ecuación:

x^2+x+5=0

No posee soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la raíz cuadrada de -19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban ese tipo de problemas irresoluble.

Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos más adelante.

Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos Con el surgimiento del algebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplia, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y formulas serían el semillero de las grandes ideas que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarían libres de sus equivalentes geométricos.

La palabra álgebra se deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar.

¿Qué tiene esto que ver con la matemática?

Cuando se tiene una ecuación, como por ejemplo:

2x+3=5

Entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también los doctores lo hacen. En la medicina antigua el termino algebra se usaba para designar las operaciones de los huesos. Así pues, un algebrista era un matemático o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en su sitio. Algebra es el arte de restituir a su lugar los huesos dislocados, según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española.

Dejemos la historia y volvamos al origen del problema.

¿Quiénes descubrieron el álgebra?

Se puede considerar al matemático árabe AlKhw¹arizm¹i como el padre de esta disciplina. Él fue el autor de un libro, llamado

al-jabr, publicado en en el año 830 d.c., primer libro de álgebra, de gran influencia

en toda Europa, donde se recog¶³an todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.c. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotámicos e hindúes en toda Europa, a través de España.

Cardano

La vida del matemático italiano Girolamo Cardano está llena de historias, situaciones y aventuras tan interesantes que bien

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