Numeros Grandes

Números grandes - apuntes y monografias

Como sabéis, para escribir los números grandes que aparecen en física es conveniente usar la notación científica. Así, el número de conexiones neuronales en el cerebro es del orden de 1014, hay 6·1022 moléculas en un mol de sustancia, hay del orden de 1080 partículas elementales en el universo observable, que tiene un volumen de 10185 volúmenes de Planck. Éste último es el número más grande que he visto en física, a parte de los números combinatorios que aparecen en física estadística. Estos pueden ser exponencialmente más grandes. Por ejemplo, el número de formas en que las moléculas de aire pueden estar repartidas en la habitación es del orden de 101023. En cualquier caso, las magnitudes físicas que se derivan de estos números siempre pasan por tomar el logaritmo. Algunos de los números grandes incluso tienen nombre propio. Un googol es 10100. (El término fue acuñado por Milton Sirotta, un niño de 10 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner, y es el orígen del nombre de "Google". Un googolplex es 10googol=1010100, es decir, un uno seguido de un googol de ceros. No hay papel suficiente en el universo para escribir un googolplex con todas sus cifras. Pero evidentemente existen infinitos números más grandes que un googolplex, y alguno de ellos incluso aparecen ocasionalmente en matemáticas. En la anterior entrada habíamos visto el googolplex, 1010100, un uno seguido de un googol de ceros. El gogolplex es un número inimaginablemente grande, pero aún es posible expresarlo en notación de potencias. Ocasionalmente en matemáticas aparecen números mucho más grandes que el gogolplex, tan grandes que no se pueden expresar en notación científica, y que requieren una notación especial. De todas las notaciones existentes para números grandes, mi preferida es la notación de la flecha de Donald Knuth. La notación consiste en lo siguiente: La multiplicación se puede considerar la iteración de la suma: a * b = a + a + ... + a (b veces). La exponenciación se puede considerar la iteración de la multiplicación: ab = a ↑ b = a * a * ... * a (b veces). La exponenciación iterada o tetración (o símplemente "doble flecha" es la iteración de la exponenciación: a ↑↑ b = a ↑ a ↑ ... ↑ a (b veces). Veamos dos ejemplo: 2 ↑↑ 4 = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 = 2222 = 216 = 65 536; 3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 3 ↑ 3 =333 = 327 = 7 625 597 484 987. La notación de exponenciación iterada permite construir rápidamente números grandes, pero aún es posible ir mucho más allá. La "triple flecha" es la iteración de la exponenciación iterada: a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ ... ↑↑ a (b veces). La "cuádruple flecha" es la iteración de la "triple flecha": a ↑↑↑↑ b = a ↑↑↑ a ↑↑↑ ... ↑↑↑ a (b veces). ... Por ejemplo, 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 = 3 ↑↑

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