ONDAS EN UNA COLUMNDA DE AIRE

8_0_ ONDAS EN UNA COLUMNDA DE AIRE

FUNDAMENTOS

Lo que sigue es una trascripción textual de parte del capítulo 4 del libro

(se incluyen, pasadas por un escáner, las figuras originales): ROEDERER,

JUAN. ACÚSTICA Y PSICOACÚTICA DE LA MÚSICA. RICORDI. 1997.

Pág. 144.

“…

4.4 Ondas estacionarias longitudinales en una columna

de aire ideal

Consideremos un cilindro largo, muy angosto, abierto en ambos extremos (Fig.

4.17). El aire en su interior puede ser considerado como un medio elástico

unidimensional (Sec. 3.2) a través del cual pueden propagarse ondas

longitudinales. En cualquier punto dentro del cilindro, la presión podrá

momentáneamente aumentar, disminuir u oscilar considerablemente con

relación a la presión atmosférica normal externa; las paredes rígidas y la inercia

de la columna de aire mantienen el necesario equilibrio de fuerzas (3.1) que se

originan a causa de las diferencias de presión. Pero en los extremos abiertos P y

Q no podrán ocurrir variaciones de presión grandes, ni siquiera en un intervalo

de tiempo muy breve, porque no hay nada en esos puntos para equilibrar las

diferencias de presión que se generan. Estos puntos funcionan por lo tanto como

nodos de presión, y cualquier onda sonora que cause una perturbación en el

interior del tubo y que se propague a lo largo de éste, será reflejada en cualquiera

de los extremos abiertos. De aquí que nos hallemos ante una situación análoga a

la de una cuerda vibrante, caso tratado en la Sec. 4.1: las ondas sonoras

generadas en el tubo quedan atrapadas dentro del mismo y los únicos modos

estables de vibración posibles son ondas estacionarias longitudinales

con nodos de presión en los extremos abiertos P y Q (Fig. 4.17).

La columna de aire abierta no necesariamente tiene que estar definida

físicamente de la manera mostrada en la Fig. 4.17. Por ejemplo, en la Fig. 4.18,

tenemos una columna de aire abierta, comprendida entre los puntos P y Q del

tubo. Efectivamente, dado que tenemos agujeros en los puntos P y Q , la

presión del aire en esos lugares debe quedar constante e igual a la presión

externa. P y Q funcionan de este modo como los extremos abiertos de la

columna de aire encerrada. La Fig. 4.18 corresponde al caso de una flauta

idealizada, donde P es la embocadura y Q el primer orificio destapado.

En un tubo abierto real de diámetro finito, los nodos de presión no

ocurren exactamente en el extremo abierto sino a una pequeña distancia

afuera («corrección del extremo» [end correction] , pág. 156). Las relaciones

que se dan abajo son sólo aproximaciones.

A partir de la Fig. 4.17 y de la relación (3.6) obtenemos las frecuencias de los

modos de vibración de un tubo cilíndrico abierto:

n

Obsérvese que, de acuerdo con lo discutido en la sección 3.3, pág. 98, los

extremos abiertos serán vientres de desplazamiento, es decir, puntos con

f

n

= ⋅20,1 ⋅

2 L

t

A

= nf

1

n = 1,2,3,… (4.5)

máxima amplitud de vibración.

1

f1 es la frecuencia fundamental

f1=

10, 05

L

tA

(4.6)

La figura 4.19 muestra cómo los modos vibratorios de ondas

estacionarias «encajan» dentro de un tubo tapado de manera tal que

siempre aparezca un nodo de presión en el extremo abierto y un vientre

de presión en el extremo cerrado. Para la frecuencia fundamental,

obtenemos la relación

f

1

=

1

4 L

⋅20,1 ⋅

t

A

=

5, 03

L

t

A

(4.7)

Recuérdese que tA es la temperatura absoluta del aire en el tubo, dada

por la ecuación (3.5). En las ecuaciones (4.5) y (4.6) L debe expresarse

en metros. Considerando que la longitud de onda λ1 del tono

fundamental está relacionada con la longitud L del tubo, teniéndose que

λ 1 = 2 L (Fig. 4.17), y examinando la Fig. 3.8, se puede obtener una

idea de las longitudes típicas de los tubos labiales abiertos de órgano, y

de flautas y flautas dulces como función de la frecuencia. Un

incremento en la frecuencia (altura) requiere una disminución en el

largo. La relación (4.6) muestra también el efecto de la temperatura del

aire sobre la altura fundamental de una columna de aire cilíndrica en

vibración. Un incremento en la temperatura produce un aumento en la

frecuencia (tono más agudo). Es así como las flautas y los tubos de

órgano deben afinarse de acuerdo con la temperatura de la sala.

Afortunadamente, la frecuencia fundamental (4.6) está controlada por la

temperatura absoluta tA, que aparece bajo una raíz cuadrada. Ambos

hechos hacen que la influencia de las variaciones de temperatura sobre

la altura sea pequeña, pero suficiente como para ser motivo de

preocupación, como bien lo saben flautistas y organistas.

Veamos ahora el caso de un cilindro estrecho tapado en un extremo

(Fig. 4.19). Notamos que, mientras en el extremo abierto P la presión

debe permanecer constante e igual a la del aire exterior (nodo de

presión), en el extremo cerrado Q la presión interna puede aumentar o

disminuir sin restricción. Efectivamente, en Q aparece un vientre de

presión. Esto es más fácil de entender cuando se visualiza el movimiento

vibratorio real de los puntos del medio. Es evidente

...