OSCILACIONES-TERMODINAMICA

UNIDAD 3: OSCILACIONES-TERMODINAMICA

• MOVIMIENTOS OSCILATORIOS Y ONDULATORIOS:

(www.sc.ehu.es)

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.

Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x=A•sin(ωt+φ)

donde

• A es la amplitud.

• ω la frecuencia angular.

• ω t+φ la fase.

• φ la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.

• La función seno es periódica y se repite cada 2π, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2π, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que ω(t+P)+φ=ω t+φ+2π .

P=2πω

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

Curva de energía potencial

La función Ep=12mω2x2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

F=−dEpdx=−mω2x

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

M.A.S y movimiento circular uniforme

En esta página, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con elmovimiento circular uniforme.

MAS y movimiento circular

La ecuación de un M.A.S. es

x=A•sin(ωt+φ)

En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angularω igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj.

El ángulo ω t+φ que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ángulo φ que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.

La aceleración en un M.A.S.

En esta página, vamos a resolver un problema que pone de manifiesto el valor y dirección de la aceleración en un MAS

Una plataforma describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. Sobre la plataforma descansa una bolita de masa m. Calcular la posición x0 y el instante t0 en el que la bolita se despega de la plataforma.

Movimiento Armónico Simple

La plataforma describe un MAS de frecuencia ω angular. En el instante t=0 parte del reposo desde la posición x=-A, siendo A la amplitud de la oscilación

x=Asin(ωt+ϕ)v=dxdt=Aωcos(ωt+ϕ)

en el instante t=0, la posición y velocidad inicial son, respectivamente,

-A=Asinφ

0=Aωcosφ

De las condiciones iniciales, despejamos la fase inicial φ=-π/2

La ecuación del MAS se escribe

x=A•sin(ωt-π/2)=-A•cos (ωt)

Derivando con respecto al tiempo obtenemos las expresiones de la velocidad y aceleración.

v=A•ωsin (ωt)

a=A•ω2cos(ωt)=- ω2x

OSCILADORES

Oscilaciones libres

En esta página, estudiamos las oscilaciones libres tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k.

Ecuación del movimiento

Cuando una partícula se desplaza x de la posición de equilibrio, actúa sobre ella una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en la figura.

La ecuación del movimiento se escribe

ma=-kx

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, podemos expresar la ecuación del movimiento como ecuación diferencial de segundo orden.

d2xdt2+ω20x=0  ω20=km

ω0 se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armónico.

La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidráulicos, etc.

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de M.A.S.

x=Asin(ω0t+ϕ)v=dxdt=Aω0cos(ω0t+ϕ)

Órbitas elípticas bajo la acción de la fuerza central–k•r

Consideremos el movimiento de una partícula de masa m bajo la acción de una fuerza atractiva cuyo módulo proporcional a la distancia al centro de fuerzas.

Vamos a determinar la ecuación de su trayectoria sabiendo que la partícula parte de la posición (r0, 0) con velocidad v0 haciendo un ángulo φ con el eje X, tal como se muestra en la figura.

Ecuación del movimiento

Cuando la partícula se encuentra en la posición r(x, y), la fuerza que actúa sobre la partícula es –k•r=-kxi-kyj

La ecuación del movimiento de la partícula es:

md2rdt2=−kr  ⎧⎩⎨⎪⎪md2xdt2=−kxmd2ydt2=−ky

La solución de este sistema de dos ecuaciones diferenciales es:

x=Asin(ωt+δ1)y=Bsin(ωt+δ2)} ω=km−−−√  

Que es la composición de dos MAS de la misma frecuencia y direcciones perpendiculares

Las componentes de la velocidad de la partícula son

dxdt=Aωcos(ωt+δ1)dydt=Bωcos(ωt+δ2)

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• TERMODINÁMICA: TEMPERATURA, PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA, TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES, Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

CALOR

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