Ondas de torsión en una barra

[pic 1]                                                                   [pic 2]

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

MATERIA:

ONDAS MECÁNICAS

TRABAJO:

ONDAS DE TORSIÓN EN UNA BARRA

PROFESOR: EDUARDO MARIN DOSTA

ALUMNO: DAVID ALBERTO MEDINA CAMPOS

3CV5

ONDAS DE TORSIÓN EN UNA BARRA

[pic 3]

Ondas de torsión en una barra

Existen diferentes tipos de ondas como las transversales y longitudinales, pero otro ejemplo de este tipo de ondas son las ondas de torsión, en las cuales se supone una barra a la que se le aplica un momento torcionante τ a los extremos de la barra, la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo θ respecto de la sección en A.

Las ondas de torsión son un tipo particular de ondas transversales que se producen cuando una varilla o un alambre tenso es sometido a oscilaciones de torsión. La velocidad de propagación de estas ondas a lo largo de un alambre tenso o de una varilla viene dada por la expresión , con independencia de la forma de su sección transversal. No debe sorprendernos que las ondas transversales y las de torsión se propaguen con la misma velocidad, ya que ambos procesos tienen un mismo fundamento físico (esfuerzos de corte). [pic 4]

En los fluidos no es posible la propagación de ondas transversales de naturaleza elástica, pues, al carecer estos de elasticidad de forma, no reaccionan ante los esfuerzos cortantes, de modo que, si un estrato fluido experimenta un deslizamiento, éste no se transmite a los estratos fluidos vecinos. En los fluidos sólo pueden propagarse ondas longitudinales, gracias a la elasticidad de volumen (compresibilidad). Únicamente en la superficie libre de los fluidos pueden propagarse ondas transversales, pero éstas no son de naturaleza elástica, ya que intervienen la gravedad y la tensión superficial (ondas capilares).

Consideremos una fibra cualquiera a una distancia r del eje de la barra, el eje de esta fibra gira el mismo ángulo θ, produciéndose una deformación tangencial δs igual a DE.

La longitud de esta deformación es el arco de circulo de radio r y el ángulo viene dada por:

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La deformación angular media o distorsión ϒ, se obtiene dividiendo la deformación tangencial, entre la longitud total de la barra

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y el esfuerzo cortante según la ley de Hooke de la forma:

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Si dividimos en dos la barra de la siguiente figura

[pic 8]

se traza el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una de las partes de la siguiente figura

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Un elemento diferencial del área de esta sección estará sometido a una fuerza resistente dP=τ dA, debido a que por ser diferencial se puede asumir que el esfuerzo es constante dentro del elemento.

Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, apliquemos la condición ΣM=0, es decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torcionante aplicado. El par resistente Tr es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP:

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Sustituyendo σc, por su valor, [pic 11]

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Ahora bien, [pic 13], es el momento polar de inercia de la sección

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Combinando [pic 15]  y [pic 16] se obtiene

[pic 17]

de donde el esfuerzo máximo cortante es

[pic 18]

Para secciones circulares el momento dipolar de inercia se muestra en la siguiente figura:

[pic 19]

En el caso de un eje circular macizo el momento polar de inercia es

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y en el caso de un eje circular hueco

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Diagrama de cuerpo libre de la sección cortada

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Momentos polares de inercia para una sección circular

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Ondas transversales en una barra

El análisis de este tipo de ondas es similar al realizado en las ondas longitudinales en una barra, consideremos una barra, la cual en estado sin deformar está dada por la línea punteada de la siguiente figura

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Ondas Transversales en una barra

Si en algún momento se hace vibrar la barra golpeándola transversalmente, en este caso se deforma la barra tomando la forma de la línea curva continua, donde se puede suponer que las deformaciones de la misma son en forma vertical mas no en forma horizontal.

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