Ondas fisica mecanica 2

1.- Movimiento armónico simple: bloque de masa "m" unida a un resorte sin masa

a). Explique por qué la fuerza que hace el resorte sobre la masa se puede describir como F = −kx,

donde k es una constante del resorte y "x" es su estiramiento respecto de su estado de reposo.

Respuesta:

Donde primero debemos saber todas las constantes y el porqué de estas en la formula, donde F es la fuerza, x la longitud de la extensión o compresión y k es una constante de proporcionalidad conocida como constante de resorte, que generalmente está en [N\m].

Aunque nosotros no hemos establecido explícitamente la dirección de la fuerza, se coloca un signo negativo. Esto es para indicar que la fuerza de restauración debida al resorte está en dirección opuesta a la fuerza que causó el desplazamiento.

Si la fuerza deformadora del objeto excediera un determinado valor, el cuerpo adquiriría entonces una cierta deformación permanente que le impediría recuperar su forma o tamaño original. A esta mínima tensión necesaria para producir una deformación de manera permanente se le llamó como límite de elasticidad.

En pocas palabras la deformación y la fuerza que se necesita para producir esta deformación es directamente proporcional, mientras que la deformación no fuera excesiva y lo dicho anteriormente explica la formula en palabras abarcando la pregunta.

Es la aproximación para la fuerza del resorte, cual mientras la masa no se aleje de su posición de equilibrio, cual es llamada k la constante del resorte, donde a la vez depende de la elasticidad de este.

Esta relación lineal entre la fuerza y la posición de la masa se le conoce como la ley de Hooke.

Por lo tanto la función nos da la posición de la masa, dado el tiempo en el que este se mueve uwu

b). Dada esa fuerza, ¿cuál es la ecuación diferencial que aparece por aplicar las leyes de newton? (donde m~a = −kxˆi), demuestre además que el movimiento que lo describe es x = A cos(wt) +B sin(wt), donde t es el tiempo.

Respuesta:

Debemos saber primero cual es la ecuación diferencial, donde aplicando la segunda ley de newton al movimiento armónico simple tenemos que la ecuación diferencial es la siguiente.

m(d^2 x)/(dt^2 )=-kx

Donde m seria la masa del cuerpo en desplazamiento, donde escribiendo;

w^2=k/m

Se obtiene que la ecuación antes vista, w es la frecuencia angula del movimiento, por lo tanto, la ecuación implícita que vimos anteriormente cambia.

(d^2 x)/(dt^2 )=a(t)=-w^2 x

Donde la solución a la ecuación diferencial, la podemos escribir de la siguiente forma;

x(t)=Acos(wt+∅)

Consideraremos la ecuación diferencial del movimiento armónico simple ya antes vista para tener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden.

x=Acos(wt+∅)+iAsen(wt+∅)

Por lo tanto, con la ecuación diferencial que vimos a el principio la podemos utilizar en segundo orden para demostrar que es el movimiento que describe un movimiento armónico simple.

c). Demuestre que la frecuencia angular con que oscila la masa debido al resorte es ω =√(k/m).

Respuesta:

El movimiento armónico simple es periódico y su periodo, tiempo empleado para realizar una oscilación completa alrededor de la posición de equilibrio, es T= 2π/w. La frecuencia (f) de un MAS, número de oscilaciones por segundo, es igual al recíproco del periodo f= w/2π y se mide en s^(-1) unidad denominada Herzio (Hz). Finalmente, w recibe el nombre de frecuencia angular y se mide en radianes s^(-1)

Donde la velocidad del cuerpo sometido a un movimiento armónico simple se deduce en la siguiente ecuación:

v=dx/dt=-Awsen(wt+∅)

Y su aceleración en:

a=(d^2 x)/(dt^2 )=-w^2 Acos(wt+∅)=-w^2 x

Comparamos la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, y llegamos que la frecuencia angular de un movimiento armónico simple toma un valor igual a:

w=√((k/m))

Aumentando cuando se incrementa la constante k, se incrementa la fuerza de recuperación, o cuando disminuye la masa m del cuerpo.

d). ¿Cuál es la onda asociada a este movimiento?, ¿puede encontrar su periodo, longitud de onda y velocidad de la onda?

Respuesta:

La onda asociada al movimiento armónico simple es el siguiente que se mostrara en pantalla:

Donde lo primero antes de sacar la longitud de onda, periodo y frecuencia es colocar la ecuación de una onda.

y(x,t)=Asen(wt-kx+ϕ)

Donde la distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo desplazamiento vertical se denomina longitud de onda (λ) cual se mide en minutos, donde la velocidad de propagación es igual a la longitud de onda entre el periodo

v=λ/T

Por lo tanto, la longitud de onda se escribe de la siguiente manera.

λ=v/f

Si se representa el desplazamiento vertical en función del tiempo para un punto de coordenada fija se obtiene el periodo, de la misma forma el tiempo que tarda un punto en describir una oscilación completa es el periodo, cuya unidad son los segundos.

T=(((2π))/w)

e). Busque constantes k para resortes usados comúnmente en ingeniería

Respuesta:

Los k para resortes utilizados en ingeniería, a base de una investigación de laboratorio para ver su calidad como a la vez su resistencia son los siguientes.

2.- Una onda sobre una cuerda es descrita por la función

y=0.8[m]cos(0.2x+4t)

Mostrar que en x = 0, la cuerda ejecuta un movimiento armónico simple y determinar la frecuencia de oscilación para este punto en particular.

Respuesta:

y (x,t)=0.8[m]*cos(4t+0.2x)

Donde compararemos con la expresión general;

y (x,t)=A*cos⁡(wt-kx)

Por lo tanto, tenemos que, amplitud (A=0.8), frecuencia angular (w=4) y numero de onda (k=0.2x), como nos entregan el dato que x=0, sabemos que el desfase es de 0.2*0 por lo tanto la formula queda de la siguiente manera.

y (x,t)=0.8[m]*cos(4t)

Lo cual, si corresponde a un movimiento armónico simple, como ya sabemos por lo antes visto, ahora veremos la frecuencia de oscilación.

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