Operadores

‘Multiplicadores de Lagrange

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como unacombinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

El método de los multiplicadores de Lagrange

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h

lo que es equivalente a

El teorema de los multiplicadores de Lagrange.

Sea g una función de dos variables suficientemente regular y consideremos la curva C de ecuación

implícita gxy ( , ) 0, = es decir, { }

2

C xy gxy : (, ) : (, ) 0. =∈ = \ Se trata de un conjunto cerrado y supongamos que es un conjunto acotado. Si 2

f xy U f xy :( , ) ( , ) , ∈⊆ → ∈ \ \ con C U⊆ , es una

función suficientemente regular (en particular continua) entonces alcanza el máximo y el mínimo

Absolutos en C. Sin embargo, ningún punto de la curva es necesariamente un punto crítico de la

Función f , luego las técnicas estudiadas en la sección anterior no son válidas en este caso. Sin embargo, si 2

C t I Ct xt yt: ( ): (( ), ( )), ∈⊆ → = ∈ \ \ siendo ( ) x = x t e ( ) y = y t funciones suficientemente regulares, es una parametrización de la curva, C y consideramos la función de una variable

h t I ht f xt yt : ( ) : ( ( ), ( )) , ∈⊆ → = ∈ \ \ se verifica que: f alcanza un máximo (mínimo) absoluto

En el punto 00 0 ( , ) () x y Ct C = ∈ si y sólo si h alcanza un máximo (mínimo) absoluto en el punto

0

T I ∈. Por tanto, el problema de obtener los extremos de la función f en C se reduce a obtener los

Extremos absolutos de la función h en I. A veces no es posible determinar una parametrización de

La curva, C hecho que ocurre generalmente cuando la curva está definida implícitamente por la

Ecuación ( , ) 0. gxy

...