Oscilador Armonico

Tema 6. Movimiento oscilatorio. El oscilador armónico

1. Movimiento oscilatorio armónico simple.

Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables de posición, x, velocidad v y aceleración a de su movimiento toman los mismos valores después de un intervalo de tiempo cte denominado periodo. Ej: Movimiento circular uniforme, el péndulo o un cuerpo unido a un muelle. En los dos últimos casos el movimiento de vaivén se produce sobre la misma trayectoria ( arco o recta). Decimos que es un movimiento oscilatorio o vibratorio.

Movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno y otro lado de su posición de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemáticas.

Oscilación es lo mismo que vibración. Sin embargo se suele hablar de vibración para designar oscilaciones rápidas o de alta frecuencia.

Cualquier cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar el equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa posición.

Ej: Un cuerpo suspendido de un hilo permanecerá en equilibrio estable en la vertical. Si es apartado de la posición de equilibrio y se suelta oscilará alrededor de su posición de equilibrio. Se detendrá por la fricción del aire.

Supongamos un muelle que se aparta de su posición de equilibrio estable. Sobre él aparecen fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su posición de equilibrio.

En este caso la es la ley de Hooke.

=-k k es una cte característica de cada muelle (N/m)

Una partícula tiene un movimiento oscilatorio armónico simple (MAS) cuando oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio. Cualquier cuerpo con MAS se le llama oscilador armónico.

2. Ecuaciones del movimiento armónico simple.

2.1 Características de un movimiento armónico simple.

 Vibración u oscilación: Distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén.

 Centro de oscilación, O: Pto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil

 Elongación, y. Distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O, tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado . Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del pto O y negativos a la izquierda.

 Amplitud A, valor máximo de la elongación.

 Periodo T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.

 Frecuencia, f o , número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del periodo f = 1/T ( Hz)

 Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular, w, Nº de periodos comprendidos entre 2π unidades de tiempo.

2.2 Ecuación fundamental del movimiento armónico simple.

En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.

Si lo hacemos oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos una gráfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posición inicial de oscilación.

Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo periodo ( es decir, ajustamos la w de la partícula para que coincida el T).

Para un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posición es x = A cos (wt).

Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuación describe los dos movimientos.

En general, si la elongación no es A, basta con introducir una fase que ajuste la posición inicial

x = A cos ( wt +  ). Para t = 0 x = A cos 

Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.

En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos

x =A cos(wt + ) wt +  fase del movimiento. Al cabo de una oscilación completa la fase aumenta en 2π rad y vuelve a la misma posición cos (wy +  ) = cos (wt +  + 2π )

  cte de fase o fase inicial. Si t = 0 se obtiene la posición inicial xo= A cos 

La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A sen (wt+)

A veces conviene usar una u otra:

1. Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que xo = A en t=0  Ecuación más sencilla es x = A cos wt ya que cos 0 = 1 También se podría escribir x = A sen (wt + π/2) ya que en t = 0 x = Asen π/2 = A.

2. Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que x0= 0 en t= 0. Lo más sencillo es x = A sen wt pero también x = A cos ( wt π/2 )

3. Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular  a partir de xo, A y w.

2.3 Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple.

x = A cos (wt + )

La velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma armónica ( sinusoidal).

Sabemos que

sen(wt +)=

v = -wA sen (wt + ) = -wA .

Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v ( ida y vuelta) v=

• La velocidad es cero cuando x = ( extremos)

• La velocidad es máxima cuando x = 0 ( centro) v =

• Las gráficas de x y v están desfasadas π/2  cos ( wt + π/2)=- senwt

Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo

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