PIA Mecánica Traslacional

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA [pic 1][pic 2]

DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

Materia: Mecánica Traslacional.

Profesor: Francisco Rodríguez Ramírez.

“Producto Integrador Académico”.

Nombre: Luis Mario Zepeda Guzmán.

Matrícula: 1662484.

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San Nicolás de los Garza a 13 de Noviembre del 2015.

Problema 32 – Capítulo 6

        32.- Una caja de juguetes y su contenido tienen un peso combinado de 180 N. El coeficiente de fricción estática entre la caja de juguetes y el piso es de μ=0.42. Un niño trata de mover la caja en el piso al tirar de ella con una cuerda. a) Si θ = 42°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer el niño sobre la cuerda para poner la caja a punto de moverse? b) Escriba una expresión para la magnitud de F necesaria para poner la caja a punto de moverse como función del ángulo θ. c) El valor de θ para el cual la fuerza es mínima. d) La magnitud mínima.

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b) Expresión para la magnitud de F mínima para poner la caja en movimiento en función de θ.

De (1) despejamos F.

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b)     (2)[pic 19]

a)  Para encontrar la fuerza que se necesita para poner la caja a punto de moverse cuando el ángulo θ = 42°, debemos sustituir 42° en (2).

Si θ = 42°, μ = .42, mg = 180N

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 N[pic 21]

c) Para encontrar el valor de θ para el cual la fuerza necesaria es mínima, necesitamos encontrar la derivada de   e igualarla a 0. [pic 22]

Utilizando la regla de la cadena aprendida en cálculo:                          , derivamos. [pic 23]

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      (3)[pic 25]

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                     c)    [pic 34][pic 35]

Se puede demostrar que el ángulo obtenido es mínimo y no máximo evaluando la segunda derivada en el ángulo obtenido. Si el resultado es mayor a cero, significa que el punto es mínimo, si es menor a cero, es máximo. Entonces, obtenemos la segunda derivada de la función f(θ) utilizando la regla de la cadena antes utilizada:[pic 36][pic 37][pic 38]

    (3)[pic 39]

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    (4)[pic 43]

Evaluando θ = 42° y sustituyendo los valores de mg y μ en (4) obtenemos:

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d) Para obtener la magnitud de la fuerza mínima, sustituimos  θ = 22.78° en (1), y obtenemos que:

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Gráfica “Ángulo vs. Fuerza”  y tabla comparativa.

        Las tabla a continuación se llenó utilizando la relación que existe entre el ángulo que la fuerza tiene en el eje horizontal con la fuerza neta aplicada en ese eje aplicando una fuerza constante. La gráfica refleja esta relación entre los ángulos de 0° y 90°.

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Problema de la Caja, modelo 6-2.

        Un bloque de masa m = 3kg se desliza a lo largo de un piso cuando se le aplica una fuerza de magnitud 12N a un ángulo ascendente θ. EL coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el piso es μk = .40. Podemos variar θ de 0° a 90° (el bloque permanecerá en el piso). ¿Qué ángulo de θ da el máximo valor de la magnitud de aceleración a del bloque?

Para obtener el ángulo máximo, primero, ponemos la ecuación en términos de aceleración y el ángulo, despejamos la aceleración  y derivamos usando el teorema de la derivada de un cociente. Igualamos esta derivada a cero y despejamos el ángulo.[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

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    (1)[pic 62]

 Derivamos (1).

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Igualamos la función , factorizamos “F” y despejamos el ángulo.[pic 66]

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