PROBABILIDADES

                  PROBABILIDADES

        Este concepto comenzó a ser utilizado en el siglo XVII por matemáticos como PASCAL y FERMAT, principalmente en relación con juegos de azar. En el siglo XVIII se perfeccionó con los trabajos de BERNOULLI y DE MOIVRE ganando muchas aplicaciones en el siglo XIX con LAPLACE y GAUSS. En el siglo XX se  trabajó en la axiomatización de tales ideas.

        En este curso se presentaran las ideas básicas de la Teoría de la Probabilidad.

        Ejemplo de Experimentos no determinísticos (E ó ε).

E1:        Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior.

E2:        Se analizan tumores para ver si son malignos o benignos.

E3:        Se cuenta el número de computadores con virus en una universidad.

E4:        Se mide la resistencia de un alambre de cobre.

        ¿Qué características tiene un Experimento?

a:        Es posible repetir cada experimento indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones.

b:        Aunque en general no podemos indicar cuál será un resultado particular, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

c:        A medida que el experimento se repite, los resultados individuales parecen ocurrir en forma caprichosa, sin  embargo, si el experimento se realiza un gran número de veces, aparece un modelo definido con regularidad. Esta regularidad hace posible la construcción de un modelo matemático preciso con el cuál analizaremos el experimento.

Definición de Espacio Muestral (Ω ó S)

        Con cada experimento ε del tipo que consideramos, definimos el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de ε.

Definición de suceso o evento

        Un suceso A asociado a un experimento ε es un subconjunto del espacio muestral Ω, es decir, A⊆Ω.

Se puede hacer una especie de analogía entre el algebra de conjunto y el álgebra de probabilidades.

        La probabilidad del suceso A (P(A)), esta dado por:

[pic 2]

Observaciones sobre P(A)

a.-  Esta definición es válida sólo para espacios maestrales finitos.

b.-  Esta definición es válida bajo el supuesto de equiprobabilidad.

c.-  Esta definición se cumple cuando el experimento se realiza un gran número de

      veces.

[pic 3]

Propiedades de P(A)

1.- 0 ≤ P(A) ≤ 1

[pic 4]

   si los Ai son sucesos mutuamente excluyentes.

3.- P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)    A y B sucesos cualesquiera.

4.- P(Ac)= 1- P(A)

Probabilidad Condicional

        Supongamos que se tienen:

                80 artículos defectuosos

                20 artículos no defectuosos

        Se realiza un muestreo i) Con sustitución

                                            ii) Sin sustitución

        Se definen los sucesos

 A: El primer artículo es defectuoso.

 B: El segundo artículo es defectuoso.

Calcular P(A) y P(B) para caso i) y ii).

Definición:

        Sean A y B dos eventos que se encuentran en un espacio muestralΩ, de manera que la probabilidad condicional de B al ocurrir el evento A es:

P(B/A) = P(A∩B)            P(A) >0

                  P(A)

Por simetría, la probabilidad condicional de A dada la ocurrencia de B es:

P(A/B)= P(A∩B)           P(B) >0

                 P(B)

Ejemplo:

En una empresa el 25% de los empleados está afiliado a la isapre I, el 38% a la AFP A y el 8% está afiliado en la isapre I y en la AFP A. Se toma la ficha de uno de los empleados de esta empresa, si resulta que esta afiliado a la isapre I , ¿Cuál es la probabilidad de que este en la AFP A?.

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