PRODUCTO VECTORIAL

PRODUCTO VECTORIAL

JUSTIFICACION

El concepto de producto vectorial, tiene aplicaciones en los diferentes campos de las ciencias exactas y naturales como: en la matemática, en la comprensión y adecuada aplicación de los conceptos de área de un triángulo, paralelogramo y distancia de un punto a una recta en el espacio, entre otros, y en la física en los conceptos relacionados con el torque, con fuerza magnética,etc.  por nombrar solo algunos.

DEFINICION

El producto vectorial es una operación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos. Dados los vectores A, B se representa así:

A X B = C

 y  el resultado es otro vector, en este caso C, que como vector presenta módulo, dirección y sentido.

La dirección es perpendicular al plano formado por los vectores A, B:

                      [pic 1]

El sentido se calcula con la regla de la mano derecha, en donde los cuatro dedos de la mano derecha, menos el pulgar, se orientan en la misma dirección y sentido del primer vector A, luego se cierran sobre sí mismos, observando que estén dirigidos al cerrarlos del vector A al vector B, como indica la flechita en el gráfico, el sentido del vector C resultante  y su dirección será el mismo del pulgar cuando se estira formando 90° con los cuatro dedos. Esto quiere decir que en el producto vectorial importa el orden en que se multiplican los vectores, ya que determina la dirección y sentido del vector resultante

La magnitud de C  se calcula como el producto de las magnitudes de los vectores A y B multiplicado por el seno del ángulo que los separa:

C = ABsen(d)

A, B, C: magnitudes de los vectores A, B, C

d: ángulo entre A, B

https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial#/media/Archivo:Producto_Vectorial_seg%C3%BAn_el_angulo_entre_vectores.gif

CONSECUENCIAS DE LA DEFINICION

1. A X A = 0, el ángulo entre A , A es cero y sen(0) = 0. AXB = 0 , entonces son paralelos

2. A X B = 0, entonces A paralelo a B, condición de paralelismo entre dos vectores.

3. A X B = - B X A, no se cumple la propiedad conmutativa.

4. Se cumple la propiedad clausurativa: dados los vectores A,  B se obtiene otro vector  C.

5. C x (D +  E) = C x D +  Cx E, el producto vectorial es distributivo respecto a la suma

 respecto a la suma de vectores, ( recuerde que  A X B = C ).

6. Consecuencias con los vectores unitarios  i , j , k .

    i x i = 0, el ángulo  d = 0

    j x j = 0

   k x k  = 0

   i x j = k,        ixj = C: está en el eje z en sentido positivo, C = (1)(1)sen(90°) = 1

   i x k = - j       ixk = C: está en el eje y en sentido negativo, C = (1)(1)sen(90°) =1

   j x i =- k

   k x i  = j

   j x k =  i

   k x j = -  i

PRODUCTO VECTORIAL EN COMPONENTES RECTANGULARES

Sean los vectores A = AxI +  Ayj + Azk     y  B  = Bxi + B yj + Bzk en componentes rectangulares en 3D.

A X B =  C = ( Axi +  Ayj + Azk )  x   ( Bxi + B yj + Bzk ) =  Axi x ( Bxi + B yj + Bzk ) + Ayj x ( Bxi + B yj + Bzk ) +  Azk x ( Bxi + B yj + Bzk ) =  Axi x Bxi + Axi x Byj +  Axi x Bzk + Ayj x Bxi +

Ayj x  B yj  + Ayj x  Bzk + Azk x  Bxi + Azk x  B yj +  Azk x  Bzk

 Axi x Bxi = 0, ( Axi  es paralelo a Bxi )

 Axi x Byj = AxBy i x j  = AxByk

C  =   AxByk  -AxBzj  -AyBxk +  AyBzi +  AzBxj - AzByi

 Axi x Bzk = AxBz i x k =  -AxBzj

Ayj x Bxi = AyBx(jxi) = -AyBxk

Ayj x  B yj = 0

 Ayj x  Bzk = AyBz(jxk) = AyBzi

Azk x  Bxi = AzBxkxi = AzBxj

 Azk x  B yj = AzBykxj = -AzByi

Por procedimientos análogos los resultados para los otros seis sumandos , y teniendo en cuenta los resultados de 6. , se obtiene finalmente seis sumandos. dos en i dos en j y dos en k . Factorizando y ordenándolos se obtiene:

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