Poblaciones Dinámica de poblaciones: una aplicación al crecimiento de un tumor canceroso

Dinámica de poblaciones:

una aplicación al crecimiento de un tumor canceroso

Juan Diego Chi-Wen Chang Santizo

Meclab

IN3, Universidad Mariano Gálvez

Ciudad de Guatemala, Guatemala

jchang@umg.edu.gt

Resumen—Resumen--- Vamos a realizar un modelo muy sencillo a base ecuaciones diferenciales para modelar el crecimiento de los tumores cancerosos. Existen dos tipos de células (a muy grandes rasgos) en los tumores cancerosos: las células madre cancerosas y las células cancerosas. Analizamos aquí las ecuaciones de recurrencia y las ecuaciones diferenciales que rigen el crecimiento de los tumores en esta versión muy simple.

1. Introdcucción

El estudio del cáncer en las últimas décadas se ha incrementado y se ha centrado mucho en el estudio genético del mismo, dejando de lado una visión panorámica del asunto a un lado. De esta manera, haremos un estudio más panorámico donde se pueda estudiar la evolución de las poblaciones de distintas células que componen un tumor canceroso, gracias a las ecuaciones diferenciales que deberían parecerse a las que dictan las leyes de las dinámicas poblacionales.

1. Antecedentes

1. Metodología

Para estudiar este problema, vamos a estudiar el sistema de ecuaciones como un sistema dinámico, puede ser discreto o continuo, para esto veamos bien el planteamiento del problema. Como un primer acercamiento, vamos a considerar que hay únicamente dos tipos de células en un tumor canceroso. El primero el de las células madre cancerosas y el segundo sería el resto de células. Vamos a estudiar la evolución temporal de las poblaciones de estas células, partiendo del supuesto que hay una sola célula madre y no hay ninguna otra.

1. Planteamiento del problema

Vamos a tomar en cuenta que hay células que mueren y otras células que se reproducen como lo muestra la figura 1. También consideramos la posibilidad que alguna de estas células muera.

[pic 1] [pic 2]

1. Reproducción de las células por tipo consideradas en el modelo. En amarillo vemos las células madre cancerosas, en naranja el resto.

1. Problema discreto

Sea N M la cantidad de células madre y sea N C la cantidad de las células restantes. También le asignamos una probabilidad a cada uno de los eventos en cada intervalo de tiempo que se contempla Δ t de la figura 1: p 1 al evento A, p 2 al B, p 3 al evento C y p 4 al evento D. Además, contemplamos la muerte eventual de células, con una probabilidad de m M y m C la probabilidad de muerte en Δ t de las células madre y de las células del tumor respectivamente. A manera de ejemplo, trabajaremos con la población de células madre. Definimos el cambio de población en el tiempo de N M como

[pic 3]

1. Modelo de dos carriles

El modelo propuesto se llama modelo 2C y consiste de dos conjuntos de reglas, una para el cambio de carriles y la otra de desplazamiento.

Para cambiar de carril, el conductor necesita un incentivo y además, se realiza sólo si se satisface el criterio de seguridad. Las reglas entonces están dadas en cada paso  por[pic 4]

• Criterio de incentivo:  con . Este criterio se aplica al carril  que contiene el vehículo de interés.[pic 5][pic 6][pic 7]
• Criterio de seguridad:  y además  con  la velocidad del vehículo en el sitio .[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
• [pic 12]
• El vehículo se mueve del carril  al carril , colocándose en la posición  en el carril .[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Las reglas de desplazamiento siguen las del modelo de Nagel y Schreckenberg, independientemente de cada carril no modificado que hace el cambio de carril.

1. Modelo de tres carriles y más

Notamos que el modelo de tres carriles (modelo 3C) es el mismo que el utilizado para más carriles. Se distinguen los carriles del medio y los carriles de los bordes. Al igual que el modelo 2C, hay dos conjuntos de reglas para cada caso: las reglas de cambio de carril y las reglas de desplazamiento. Sin pérdida de generalidad, tomamos el caso de tres carriles, los numeramos 1, 2 y 3, donde el 1 y el 3 son los del borde y el 2 es el carril central. A continuación, presentamos las reglas de los carriles 1 y 3 para cambiar de carril:

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