Práctica 2 Ecuaciones en diferencias de orden superior

SOLUCION DE LA PRÁCTICA 2

Práctica 2: Ecuaciones en diferencias de orden superior

1. Encuentre "La Integral Particular" de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden:

(a) y 00 (t) 2y 0 (t) + 5y = 2

Solucion:

a1 = 2

a2 = 5

b=2

yp =

2

5

(b) y 00 (t) = 12

Solucion:

como a1 = a2 = 0 y b = 12 concideraremos y 00 (t) = b

entonces la la integral particular sera:

b

yp = t2

2

yp = 6t2

2. Encuentre "La funcion complementaria" de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden:

(a) y 00 (t) + 6y 0 (t) + 5y = 10

Solucion:

a1 = 6

a2 = 5

b = 10

2

a1 = 36 < 4a2 = 20

p2

a1 4a2

a1

remplazando tenemos a r1 =

r1 r2 =

2

por lo tanto la funcion complementaria es:

1 y r2 =

yc = A1 e t + A2 e 5t

(b) y 00 (t) + 8y 0 (t) + 16y = 0

Solucion:

a1 = 8

a2 = 16

2

a1 = 64 = 4a2 = 64 y

entonces

b=0

r = a21 =

64

=

2

32

yc = A1 e 32t + A2 te 32t

1

5

3. Encuentre la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales del anterior

ejercicio y luego determine las solucion que cumpla con las condiciones y(0) = 4 y

y 0 (0) = 2

(a) y 00 (t) + 6y 0 (t) + 5y = 10

Solucion:

Si yc = A1 e 1t + A2 e 5t y yp = ab2 = 10

= 2, entonces:

5

y(t) = yc + yp = A1 e t + A2 e 5t + 2

sean y(0) = 4 y y 0 (0) = 2

A1 e t

y0(t) =

A2 =

y(0) = A1 + A2 + 2 = 4

1

5A2 e5( t)

y0(0) =

A1

5A2

y

y0(0) =

A1

y(t) = 3e t

5A2 = 2, entonces A1 = 3 y

e 5t + 2

(b) y 00 (t) + 8y 0 (t) + 16y = 0

Solucion:

De:

y(t) = A1 e 32t + A2 te 32t

sean y(0) = 4 y y 0 (0) = 2

y(t) = A1 e 32t + A2 te 32t y

y0(t) = 32A1 e 32t + A2 e 32t 32tA2 e 32t

y(0) = A1 = 4 y

y0(0) = 32(4) + A2 = 2, entonces A1 = 4 y A2 = 130

y(t) = 4e 32t + 130te 32t

4. ¿Son dinamicamente estables los equilibrios intertemporales encontrados en el anterior

problema?

(a) y 00 (t) + 6y 0 (t) + 5y = 10

Solucion:

tiene racices r1 = 1 y r2 = 5, como r1 r2 son negativas decimos que tiene

un equilibrio interpolar dinamicamente estable.

(b) y 00 (t) + 8y 0 (t) + 16y = 0

Solucion:

tiene racices repetidas r = 32, como r < 0 decimos que tiene un equilibrio

interpolar dinamicamente estable.

5. Resuelva los problemas pares del ejercicio 16.2 de la pagina 521 del libro

(2)

2

a ¿Cuantos grados hay en un radian?

R. Un radian equivale a 180 = 57 17044:8100

b ¿Cuantos radianes hay en un grado?

R. Un grado equivale a 180 = 0; 01745329rad

(4) mediante las identidades (16:14), (16:15) y (16:16), muestre que

a sin 2

2 sin cos

b cos 2

1

2 sin cos

2 sin cos

cos2

1

2 sin2

sin2

1

1

c sin( 1 +

2 ) + sin( 1

sin2

2)

sin2

2 sin2

1

1

2 sin2

2 sin2

2 sin 1 cos 2

sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 + sin 1 cos 2

2 sin 1 cos 2

d 1 + tan2

2 sin2

1

cos2

cos 1 sin 2

2 sin 1 cos 2

sin2

1

2

cos

cos2

1

cos2 + sin2

cos2

cos2

1

1

2

cos

cos2

1+

e sin

2

cos

sin( ) cos

2

1 cos

cos( ) sin

2

0 sin

cos

cos

f cos

2

cos

cos

sin

cos

cos + sin( ) sin

2

2

0 cos + 1 sin

sin

sin

sin

sin

6. Resuelva los problemas del ejercicio 16.3 de la pagina 527 del libro

3

2 sin 1 cos 2

1) y 00 (t) 4y 0 (t) + 8y = 0 ; y(0) = 3; y 0 (0) = 7

Solucion:

p

a1 = 4

a2 = 8

b=0

h = 21 ( 4) = 2 ^ v = 12 4 8

2

yc = e2t (A5 cos 2t + A6 sin 2t)

la solución general es:

( 4)2 =

y (t) = e2t (A5 cos 2t + A6 sin 2t)

y(0) = 3

y (0) = e2 0 (A5 cos 2 0 + A6 sin 2 0) = 3

A5 = 3

y 0 (0) = 7

y 0 (0) = 2e2 0 (A5 cos 2 0 + A6 cos 2 0

A5 sin 2 0 + A6 sin 2 0) = 7

y 0 (0) = 2 (A5 + A6 ) = 7

6 + 2A6 = 7

1

A6 =

2

Entonces la solución de…nida es:

y (t) = e2t 3 cos 2t +

1

sin 2t

2

2) y 00 (t) + 4y 0 (t) + 8y = 2 ; y(0) = 2 14 ; y 0 (0) = 4

Solucion:

a1 = 4 ; a2 = 8 ; b = 2

^ h = 21 4 =

yp = 82 = 41 ^ yc = e 2t (A5 cos 2t + A6 sin 2t)

la solución general es:

2

p

^ v = 12 4 8

y (t) = e 2t (A5 cos 2t + A6 sin 2t) +

y(0) = 2 41

y (0) = e 2 0 (A5 cos 2 0 + A6 sin 2 0) +

y (0) = A5 +

1

4

1

1

=2

4

4

1

9

=

4

4

A5 = 2

y 0 (0) = 4

y 0 (0) =

2e 2t (A5 cos 2t

A6 cos 2t + A5 sin 2t + A6 sin 2t) = 4

y 0 (0) =

4

2 (A5

A6 ) = 4

42 = 2

4 + 2A6 = 4

A6 = 4

Entonces la solución de…nida es:

1

4

y (t) = e 2t (2 cos 2t + 4 sin 2t) +

3) y 00 (t) + 3y 0 (t) + 4y = 12 ; y(0) = 2; y 0 (0) = 2

Solucion:

p

a1 = 3 ; a2 = 4 ; b = 12

^ h = 23 ^ v = 12 7

3

e 2 t (A5 cos 2t + A6 sin 2t)

la solución general es:

3

y (t) = e 2 t A5 cos

yp = 3

^

yc =

...