Prácticas de métodos númericos

PRÁCTICA 1.

1. Muestre es el resultado de ejecutar el siguiente programa en su computadora. Note que las variables se declaran como reales (punto flotante).

#include

#include

#include        

 main()

{

            float x,h,y;

            int i;

            x=0.0;

            h=0.1;

            for(i=1;i<=10;i++)

            x=x+h;

            y=1.0-x;

           printf("\n el resultado es:%e %e\n\n",x,y);

system("pause");

}

1. ¿El número decimal 0.1 puede ser representado exactamente en su computadora? Explique su respuesta.

1.  Ejecute el código del problema 1, pero ahora declare las variables como doble precisión. No olvide mostrar tanto el código como el resultado.

1. Compare los resultados obtenidos en el problema 1 y en el problema 2. Realice sus conclusiones.

1. Realice un programa que imprima la variable Z=314 159 265 358 y diga si es exactamente representado como:

1. Como un entero (int).
2. Como un doble entero (long).
3. Como un número flotante de precisión simple (float).
4. Como un número flotante de doble precisión (double).

Muestre su código, sus resultados y concluya.

1. Implemente los programas siguientes por separado. Muestre claramente los resultados obtenidos y compárelos. ¿Cuál es la cantidad más pequeña que se puede representar en cada caso? ¿Por qué son distintas? ¿A qué conclusión se puede llegar?

#include

#include

#include

main()

{

float eps, eps1;

eps = 1.0;

inicio:

eps = eps/2.0;

printf("\n el resultado es: %e \n", eps);

eps1 = eps + 1;

if(eps1>1.0)

goto inicio;      

system("pause");

return 0;

}

#include

#include

#include

main()

{

float eps;

eps = 1.0;

inicio:

eps = eps/2.0;

printf("\n el resultado es: %e \n", eps);

if(eps>0.0)

goto inicio;

system("pause");

return 0;

}

PRÁCTICA 2

Para todos los problemas de esta práctica utilice un ε =0.01 y 4 dígitos después del punto decimal para representar sus resultados.

Realice una representación gráfica y utilice cada uno de los métodos vistos en clase para encontrar una raíz de las siguientes funciones. Si no logra llegar a una raíz en alguno de los ejercicios explique porqué.

1. [pic 1]
2. [pic 2]
3. [pic 3] en [pic 4]   
4. [pic 5]
5. [pic 6]
6. x=[pic 7] en [pic 8]
7. [pic 9]  raíz aproximada  [pic 10]
8. [pic 11]
9. [pic 12] en [pic 13]  raíz aproximada  [pic 14]
10. [pic 15] en  [pic 16]  raíz aproximada  [pic 17]
11. [pic 18]   raíz aproximada  [pic 19]
12. f(x)=tan(x)-x-0.5=0  en [0.1,1.4]
13. f(x)=tan(x)-0.5=0  en [4,4.5], en [4,3π/2]
14. f(x)=x sin(x)-0.1=0  en 0
15. 0.5ex/3-sin(x)=0 para x>0
16. f(x)=ln(1+x)-x2=0
17. f(x)=ex-5x2=0
18. f(x)=x3-2x-1=0
19. f(x)=x1/2+2-x=0
20. tan(x)=3.5 en [0,π]

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales utilizando el Método de Newton y el Método de Punto Fijo.

a)

[pic 20]

[pic 21]

Con punto inicial: [pic 22]   [pic 23]

b)

[pic 24]

[pic 25]

Con punto inicial  [pic 26] [pic 27]

Para el método del punto fijo utilice el siguiente despeje:

     [pic 28][pic 29]

c) Solo por el método de Newton

[pic 30]

[pic 31]

Utilice el Jacobiano y el punto inicial:

[pic 32]         [pic 33]

d)

[pic 34]

[pic 35]

Verifique que las soluciones son: [pic 36]
Utilizar: [pic 37]   &   [pic 38]

PRACTICA 3.

1. Por los métodos directos, resolver el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando 4 cifras significativas después del punto decimal.

[pic 39][pic 40]=[pic 41]

2.   Calcular la Matriz Inversa para n=2,3,4,5,6:

[pic 42]

Nota: Hn es conocida como matriz de Hilbert de orden n.

1. Dada la matriz A y el vector B compruebe si la solución x que se presenta es correcta.

[pic 43]

[pic 44] 

4.   Otra forma de representar la Matriz de Hilbert es la siguiente:

[pic 45]

Realice un programa que incluya esta definición y que calcule la inversa de una matriz 5x5. Compare su resultado con la matriz siguiente, exprese sus conclusiones:

[pic 46]

5.    Resolver por los métodos iterativos:

a)
[pic 47]                          [pic 48]=(0,0)        [pic 49]               

[pic 50]                         ε=0.0001

b)

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

PRÁCTICA 4.

1. Sea la función [pic 54] definida en el intervalo [-1,1] de la mayor de los puntos posibles cercanos a –1 y 1 y construya un polinomio de grado 10, grafique la función

y los puntos interpolados en la misma grafica observe y realice conclusiones.

1. Dada la siguiente tabla utilice los métodos de interpolación vistos en clase para aproximar una curva que pase por los puntos:

Realizar una interpolación en el punto xk=0.0032, comparar el resultado con la evaluación de la función f(x) = x2. Concluya.

1. Construir un polinomio de interpolación utilizando los siguientes datos:

(0,1), (-1,2) y (1,3)

La solución aproximada es: P2(x)=1+(1/2)x+(3/2)x2 

Compare su solución en el valor x= 0.5

1. Realice la interpolación adecuada y compare el resultado con la solución:

La solución está encerrada en [pic 55]

...