Primera y segunda ecuación de Euler

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Ecuación de Euler

La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde [Marchegiani, 2004].

 Euler es del Matemático y Físico suizo Leonhar Euler quien nació en 1707 y es considerado el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos [Artacho, 2014].

Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica, teoría de números, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás [Artacho, 2014].

 Fue verdaderamente un genio. Se considera como la ecuación más famosa de la matemática, la belleza de esta fórmula radica en su extraordinaria sencillez y el hecho que se podría decir que en ella esta resumida casi toda la matemática.

e iπ + 1 = 0

En ella encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciales e identidad. Tenemos también, los cinco números fundamentales: como es el número e que es decir este es el número más importante del análisis matemático; también nos encontramos con el número Pi, que es el número más importante de la geometría; encontramos el número i, que es el número más importante del algebra; Y los números 0 y 1, que son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros, respectivamente, de la adición y la multiplicación [Rendón, 2007].

Relevancia matemática. La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números complejos [Zill and Cullen, 2013].

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la ´única función matemática que permanece con la misma forma -excepto por la unidad imaginaria- con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que en Ingeniería Eléctrica se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones. (válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre [Rendón, 2007].

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial. Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x.

En las ecuaciones diferenciales, ecuación de Euler es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos [Artacho, 2014].

En ingeniería y otras disciplinas, las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno. [Zill and Cullen, 2013]

PRIMERA FORMA DE LA ECUACION DE EULER

(Expresión energética)

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 (Ecuación de Euler, primera forma: bombas, ventiladores, turbocompresores, turbinas hidráulicas, turbinas de vapor y turbinas de gas: signo + máquinas motoras y signo - máquinas generadoras;

Unidades:  SI)[pic 9]

En las turbos máquinas hidráulicas se prefiere utilizar la ecuación de Euler en forma de altura, y así lo haremos nosotros. En las máquinas hidráulicas la altura es una variable de gran significado físico: altura bruta de un salto de agua, altura neta de una turbina hidráulica, altura de elevación de una bomba, etc. (5).

De la variable Y se pasa a la variable H por la ecuación:

[pic 10]                (18-11)

 Por tanto, dividiendo los dos términos de la Ec. (18-10) por g se tendrá:

PRIMERA FORMA DE LA ECUACION DE EULER

(Expresión en alturas)

[pic 11]                         (18-12)

(Ecuación de Euler, primera forma: bombas, ventiladores, turbocompresores, turbinas hidráulicas, turbinas de vapor y turbinas de gas: signo + máquinas motoras y signo - máquinas generadoras; unidades m, SI)

Notas a la ecuación de Euler

Así como la ecuación de Bernoulli es la ecuación fundamental de la hidrodinámica, la ecuación de Euler es la ecuación fundamental del turbo máquinas.

a altura Hu de la Ec. (18-12) en las turbos máquinas hidráulicas se denomina también altura hidráulica.

la Fig. 18-1, empleada para deducir la ecuación de Euler, tanto el vector cx como el c2 se encuentran en el plano del dibujo (plano transversal. Como veremos en la Sec. 18.7 esto solo sucede en las máquinas radiales. En general, en una turbo máquina la velocidad en cada punto puede tener tres componentes, según los ejes r, u y a, que tienen la dirección del radio en dicho punto, la tangente y el eje de la máquina.

Sin embargo, al plantear la ecuación del momento cinético se llegaría a la misma, porque el momento de la componente axial Ca con relación al eje es nulo por ser paralela a él y el momento de la componente según el eje r Cr también, porque su dirección corta al eje, quedando solo el momento de Cu, igual a C1u r1 y c2u r2 a la entrada y salida, respectivamente.

YU(HU) representa:

En las bombas, ventiladores y compresores (turbo máquinas generadoras): la energía (altura) teórica comunicada al fluido;

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