Probabilidad. Axiomas de Probabilidad

Probabilidad

Introducción

Es interesante puntualizar la diferencia que hay, desde el punto de vista del criterio de verdad, en afirmaciones como las siguientes:

a) x + 3 = 5 ⇒ x = 2

b) El 3 de junio del próximo año se producirá un eclipse total de sol

c) Mañana lloverá por la tarde

d) En la próxima jugada de una ruleta saldrá un número impar

Las afirmaciones contenidas en los ejemplos a) y b) pueden ser confirmadas o refutadas en forma terminante, utilizando elementos del juicio que nos proporciona la Matemática en el caso a) y la Astronomía en el b); es decir que se trata de afirmaciones categóricas; o sea, verdaderas o falsas. Podemos decir que la afirmación del ejemplo a) es cierta, pero no sucede lo mismo con la afirmación del c). A veces los científico, por más que se esfuercen en sus tareas, no estarán completamente seguros de lo que afirman. Sus afirmaciones “no tienen certeza total”, “tienen certeza parcial”. Dicha falta de certeza se llama incertidumbre. 

El concepto de incertidumbre es muy antiguo, Aristóteles (filósofo griego del siglo IV a.C.) había reparado en ella trabajando en su libro titulado “Sobre la interpretación”. Observó que cierto tipo de enunciados como “Mañana lloverá por la tarde” presentaban dificultades para decidir en el momento acerca de su veracidad o falsedad. Se suscitaba incertidumbre momentánea; es decir que para decidir acerca de la verdad o falsedad de dicha proposición un día cualquiera era necesario esperar al día siguiente para responder de manera adecuada.

Una manera de medir la incertidumbre de un suceso cualquiera es a través del concepto de probabilidad. Un ejemplo muy conocido de su empleo está dado, precisamente, por el trabajo de los meteorólogos. El comportamiento de la atmósfera es tan complicado que las más potentes computadoras no pueden manejar, al menos por ahora, la inmensa cantidad de cálculos que se requieren para arribar a un pronóstico cuyo enunciado tenga certeza absoluta.

Cuando por radio, a primera hora, se dice que hay un 70% de probabilidad de lluvia durante la última hora de la tarde, se está dando cierto tipo de información que contiene un grado de certeza (70%) y al mismo tiempo un grado de incertidumbre (30%).

Hay acontecimientos cuyo resultado es aleatorio. Aleatorio deriva del latín: alea y significa dado (los antiguos romanos eran aficionados a los juegos de dados).

Una experiencia cuyo resultado es incierto o librado al azar se denomina “experimento aleatorio”. 

Observación: en un experimento aleatorio no se puede saber de antemano el resultado pero si se conoce el conjunto de posibles resultados. Tal es el caso de la afirmación del ejemplo d)  

Definiciones:

1. Experimento: es el proceso mediante el cual se obtiene una observación (o medida)
2. Suceso o evento: es el resultado de un experimento

La teoría de probabilidades se ocupa de medir hasta que punto se puede esperar que ocurra un suceso. A esa medida se la llama su probabilidad.

Ejemplo:

Suele decirse que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es del 50%; esto significa que, en teoría, de cada 100 veces que se realice el experimento, en promedio, dicho suceso ocurre 50 veces. También se dice que la probabilidad es 50/100 = 0,5.

El ejemplo anterior muestra un aspecto empírico de la probabilidad. Es decir que podemos interpretar esa medición con el concepto de frecuencia relativa: fr = fi/n, donde fi es el número de veces que ocurrió un determinado suceso (llamémoslo suceso A) y n la cantidad de veces que se hizo el experimento. Cuanto mayor sea n, más se aproximará la frecuencia relativa a la probabilidad de que ocurra el suceso A: P(A). En el límite es exacta, o sea P(A) = [pic 1] 

Dado que P(A) se comporta como una frecuencia relativa, siempre estará comprendida entre 0 y 1.

Espacio muestral y sucesos

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Al lanzar un dado los resultados posibles son: 1, 2, 3, 4, 5, 6; es decir que el espacio muestral es el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso: es un subconjunto cualquiera del espacio muestral

Ejemplo: Obtener un número par al lanzar un dado, P = {2, 4, 6}

Observación:

Teniendo en cuenta que los subconjuntos de un conjunto S son los elementos del conjunto de partes de S, P(S); la cantidad de subconjuntos posibles es 2 #S (incluyendo, obviamente, a S y ∅). En el ejemplo de los dados hay 26 = 64 subconjuntos de S, algunos de ellos son: ∅, S, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,5},{1,2,4}, etc.

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