Probabilidad

PROBABILIDAD:

∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.

∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un conjunto de resultados posibles.

∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral.

∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral.

∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa.

TIPOS DE EVENTOS

∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.

∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto vacío (∅) del espacio muestral.

∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes.

∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral.

∗ PROBABILIDAD CLÁSICA

La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles.

La probabilidad de A se denotará por P(A).

∗ Observación:

1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre

2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%

∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS

∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha ocurrido.

∗ Probabilidad y triángulo de Pascal

Caras y sellos

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal

1 C

S 1, 1

2 CC

CS SC

SS 1, 2, 1

3 CCC

CCS, CSC, SCC

CSS, SCS, SSC

SSS 1, 3, 3, 1

4 CCCC

CCCS, CCSC, CSCC, SCCC

CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC

CSSS, SCSS, SSCS, SSSC

SSSS 1, 4, 6, 4, 1

... etc ...

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es , o 37.5%

Triángulo de Pascal

DIAGRAMA DEL ARBOL:

• Representa de manera grafica todos los resultados posibles.

Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda.

Resultados favorables: 8 (CCC – CCS – CSC – CSS – SCC – SCS – SSC – SSS)

Casos favorables: 3

(CCS – CSC – SCC)

Probabilidad =

EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es . ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja?

A) B) 1 C) D) E) Falta Información

EJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3 ó 4?

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?

A) 0,4 B) 0,41 C) 0,42 D) 0,5 E) N.A

EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?

A) B) C)

D) E)

EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo administrativo

NIVEL EDUCACIONAL

Sexo Universitaria Media Básica

Masculino 250 100 40

Femenino 225 110 25

Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que sea varón es de

II) La probabilidad que sea mujer es de

III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es:

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es)

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