Probabilidad

1. ¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de dos letras “diferentes” seguidas de 3 dígitos diferentes?

a. Observemos que necesitamos tomar de 26 letras 2 (diferentes), es decir 26P2= 25*26 =650, luego de 10 dígitos hay que tomar 3 lo cual es 10P3=720, entonces, de acuerdo con el principio de conteo, el número total es 650*720=468,000

b. ¿Si el primer número no puede ser cero? Necesitamos considerar el caso solo que del primero solo hay nueve formas de tomarlo, del segundo número y tercero hay 9P2=72, lo que da: 650*72*9=421,200

Ejemplo 1:

Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña.¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

Solución :

Por el principio de adición:

Victoria ó Breña

6 formas + 8 formas = 14 formas

Ejemplo 2:

Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?

Solución :

• Aplicando el principio de adición se tiene:

Bote , lancha , deslizador

3 ó 2 ó 1

# maneras = 3 + 2 + 1 = 6

Ejemplo :

Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos

Solución :

Método 1:

• Sea el conjunto : {a, b, c} , entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb

• Número de arreglos = 6

Método 2: (principio de multiplicación)

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

# arreglos = 3 x 2 = 6

Ejemplo:

En una carrera de 400metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro , plata y bronce?

Solución :

Método 1 : Empleando el principio de multiplicación

Oro Plata Bronce

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

10 x 9 x 8

# maneras = 720

Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal)

• Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10)

Ejemplo 2:

Una señora tiene 3 frutas : manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas ?

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

Fresa (F) , Piña (P) , Manzana (M)

Solución:

Método 1 : (en forma gráfica)

• Cuando se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P ,M

• Cuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM

• Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM

Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7

Método 2 : (Empleando combinaciones)

• Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres ó las tres frutas de las tres, además en este caso no importa el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación:

# maneras diferentes =

# maneras diferentes =

Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7

Ejemplo 3:

Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos.¿De cuantas maneras podrá seleccionarse?

Solución:

• 1 Seleccionamos 4 físicos entre 8 en

formas

• 2o Seleccionamos 3 matemáticos entre 6 en

• Aplico el principio de multiplicación

x = 70 x 20 = 1400

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

PROBLEMAS RESUELTOS

1. ¿Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3 , 5 y 7?

A) 16 B) 12 C) 10 D) 14 e)8

Solución :

MÉTODO 1 : ( mediante arreglo numérico)

• Con los dígitos dados, formamos los siguientes números:

Respuesta : se pueden formar 16 numerales

MÉTODO 2 : ( mediante la aplicación de los principios de análisis combinatorio)

• La forma general del numeral pedido es :

• Los valores que pueden tomar los dígitos a y b en el numeral

son:

cantidad de números = 4 x 4 = 16

7) De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse.

A) 16 B) 10 C) 12 D) 15 e) 18

Solución :

METODO 1: Por conteo directo

• Sean A, B, C, D y E los alumnos, los diferentes grupos de 3 serían : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE , ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes

METODO 2: Por fórmula

• Como el grupo de alumnos ABC, CBA y BAC son el mismo grupo de alumnos, entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinación:

Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes

8.

Un grupo de 16 personas desean escoger entre sus miembros un comité de 3 personas que los represente. ¿De cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comité?

A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440

Solución :

• Para formar un comité , no interesa el orden en que se dispongan las tres personas por lo que los posibles comités serán combinaciones de 16 personas tomadas en grupos de 3, así

Respuesta : se puede seleccionar el comité de 560 formas diferentes

8.

En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas.¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas?

A) 64 B) 55 C) 50 D) 110 e) 120

Solución :

• El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 4 de las últimas 5 preguntas; ó cuatro de las primeras cinco preguntas y 3 de las últimas ; ó cinco de las primeras cinco y dos de las últimas. Como no interesa el orden se trata de una combinación, por lo tanto tenemos:

Respuesta : 110 maneras diferentes

2.- De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a ¿Cuál es el espacio muestral?

b Describe los sucesos:

A  "Mayor que 6" B  "No obtener 6" C  "Menor que 6"

escribiendo todos sus elementos.

c Halla los sucesos A  B , A  B y B'  A'.

Solución:

a E  { 0, 1, 2, 3,

...