Probabilidades de transici´on

Probabilidades de transici´on

Hemos mencionado antes que para una cadena de Markov a tiempo continuo

las probabilidades de transici´on son los n´umeros pij ptq  P pXt  j | X0  iq.

El problema que uno puede plantearse es encontrar una expresi´on para las

probabilidades de transici´on pij ptq para cada par de estados i y j, y para cada

tiempo t ¥ 0. Este es un problema demasiado general y s´olo en algunos pocos

casos es posible encontrar expl´ıcitamente tales probabilidades. El siguiente

resultado, sin embargo, nos permitir´a obtener algunas conclusiones generales

acerca de estas funciones.

Proposici´on 5.1 Sean i y j dos estados. Para cualquier t ¥ 0,

pij ptq  δij e

λit

λi e

λit

»

t

0

e

λis

p

¸

ki

pik pkj psq q ds. (5.1)

Demostraci´on. Si i es un estado absorbente, es decir, si λi  0, entonces

la f´ormula de la proposici´on se reduce a pij ptq  δij , lo cual es evidente. Si,

en cambio, i no es un estado absorbente, entonces

pij ptq  P pXt  j | X0  iq

 P pXt  j, Ti ¡ t | X0  iq P pXt  j, Ti ¤ t | X0  iq

 δij e

λit

»

t

0

fXt,Ti | X0

pj, u | iq du

 δij e

λit

»

t

0

¸

ki

fXt,Xu,Ti | X0

pj, k, u | iq du,

en donde por la propiedad de Markov y la independencia,

fXt,Xu,Ti | X0

pj, k, u | iq  fXt | Xu,Ti,X0

pj | k, u, iq

 fXu | Ti,X0

pk | u, iq fTi | X0

pu | iq

 pkjpt
uq pik λie

λiu

.

...