Probabilidades

04. PROBABILIDADES

SUCESOS Y ESPACIO MUESTRAL

Sucesos. Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

Suceso Elemental, hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.

Suceso Compuesto, es un subconjunto de sucesos elementales.

- Un suceso puede estar contenido en otro, entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

- Dos sucesos pueden ser iguales, en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

- Intersección de sucesos, es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se interceptan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.

- Unión de dos o más sucesos, la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección

- Sucesos incompatibles, la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada).

- Sucesos complementarios, la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

- Unión de sucesos complementarios, la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Un suceso puede estar contenido en otro, las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.

Dos sucesos pueden ser iguales, esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.

Unión de dos o más sucesos, la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.

Intersección de sucesos, es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se interceptan.

Sucesos incompatibles, son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío).

Sucesos complementarios. Son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. Existen dos tipos de fenómenos: Deterministas, que son aquellos cuyos resultados se pueden predecir de antemano, y estocásticos o Aleatorios, que son los que dependen del azar (no se pueden predecir). Se llama prueba al proceso mediante el cual se obtiene un resultado. Y se llama experimento aleatorio a todo fenómeno aleatorio.

Se llama suceso aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral. Se llama suceso elemental a un suceso unitario. Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos, y se representa por . Se llama suceso imposible al que no se verificará nunca, y se representa por . Se llama suceso seguro al que se verificará siempre, y se representa por E.

Se dice que un subconjunto A se ha realizado o se ha verificado cuando el resultado de la prueba coincide con algún componente del subconjunto A. Se dice que un suceso A implica a otro B cuando siempre que se verifica A, se verifica B: A B. Diremos que dos sucesos son iguales cuando A B y B A.

Álgebra de Boole

A B es el suceso que se verifica si y

sólo si se verifica uno de los dos.

A B es el suceso que se verifica cuando

se verifican los dos a la vez.

, complementario de A, es el suceso que

se verifica cuando no se verifica A.

Propiedades. Como las definiciones de unión, intersección y complementación de sucesos son idénticas a las de los conjuntos, estas operaciones para sucesos cumplen las mismas propiedades que para los conjuntos.

- Conmutativa: A B = B A A B = B A

- Asociativa: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

- Idempotente: A A = A A A = A

- Simplificación: A (A B) = A B A (A B) = A B

- Distributiva: A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

- Existencia de elemento neutro: A = A A E = A

- Absorción: A E = E A =

- Complementación: E = = E

- Involución: (A ) = A

- Leyes de Morgan: (A B) = A B (A B) = A B

Un conjunto dotado con dos leyes de composición (operaciones) que cumple la conmutatividad, distributividad, existencia de elemento neutro y existencia de complementario, se llama álgebra de Boole.

Así pues, ( ; , ) es un álgebra de Boole.

Dos sucesos se dicen incompatibles si A B = .

Un sistema completo de sucesos son n sucesos A , A , ......., A que verifican las dos siguientes condiciones A A ...... A = E A A = , i, j = 1, 2, ...., n, para i j.

Suceso aleatorio. El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6, E = (1, 2, 3, 4, 5, 6)).

Consideremos ahora algunos subconjuntos de E,

Salir par A = (2, 4, 6)

Salir impar B = (1, 3, 5)

Salir múltiplo de 3 C = (3, 6)

A todos estos subconjuntos de E se les llama sucesos

Ejemplo, Determinar el espacio muestral y el espacio de sucesos del experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior.

Espacio muestral: E = (C, S)

Espacio de sucesos S = (Ø, (C ), (S), (C,S))

Ejemplo, Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado de quinielas y anotar el símbolo que aparece en la cara superior. Hallar el espacio muestral y el espacio de sucesos.

Espacio muestral: E = (1, S, 2)

Espacio de sucesos S = (Ø, (1), (S ), (2), (1,S), (1,2), (2,S), (1,S,2))

Ejemplo, En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española consideremos el suceso A = "Salir figura". ¿Cuándo diremos que se ha realizado el suceso A?

Decimos que se ha realizado el Suceso A, si al extraer una carta obtenemos cualquiera de las cuatro sotas, o de los cuatro

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