Problemas Clasicos De Lla Matematica Griega

Las matemáticas griegas tenían tres problemas clásicos que fueron importantes para el desarrollo de la geometría. Utilizando únicamente regla y compás:

1) Dado un cubo cualquiera, construir otro cubo de volumen el doble del anterior: DUPLICACION DEL CUBO.

¿Cómo construir valores los X e Y medias proporcionales entre los valores a y 2a?

Dice Arquitas: La intersección de un cilindro recto, un cono circular y un toro da como solución un punto que justamente tiene coordenada el valor que resuelve el problema de la duplicación del cubo.

La idea central de la construcción propuesta por Arquitas se basa en la división adecuada dentro del triangulo rectángulo ABC

Si llamamos AE=a y AC=2a al ser semejantes los triángulos ABC, ADB y AED, se verifica que

Siendo AB=y y AD=x. Por lo tanto, la construcción tridimensional esconde un problema bidimensional: dados los segmentos AC=2a y AE=a, construir el triangulo (Fig. anterior), donde AD es la solución del problema de la duplicación del cubo.

2) Dado un ángulo cualquiera, construir un ángulo que sea la tercera parte del ángulo dado: TRISECCION DEL ANGULO.

Dado un ángulo CAB trace un círculo con el centro A de modo que CA y AB sean radios del círculo. De C trace una línea para cortar el BA generando E. Esta línea corta al círculo en F y tienen la característica que EF es igual al radio del círculo .

Entonces la línea EC es construida. Finalmente trace de A el radio AX paralela a la EC . Entonces AX triseca el ángulo. Esta es fácil de ver:

∠XAC = ∠ACF = ∠CFA =∠FEA + ∠ FAE =2*FEA = 2*ángulo XAB

3) Dado un circulo cualquiera, construir un cuadrado que tenga el mismo área que el circulo: CUADRATURA DEL CIRCULO.

Si πr2 el área del círculo y b2 el área del cuadrado, (siendo r y b el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente), tenemos que, para el cuadrado de área igual a la del círculo, b=r√π.

En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo √π el factor de proporción. Sin embargo π es un numero trascendente y en consecuencia √π tambien lo es.

Hipócrates de Quíos demostró que ciertos trozos de círculos llamados lúnulas son cuadrables, esto creó la falsa idea de que el circulo podría cuadrarse

En conclusión, estos problemas no pueden resolverse con regla y compás, aunque pueden abordarse de otras formas.

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