LOS TRES PROBLEMAS CLASICOS DE LA MATEMATICA

HISTORIA DE LA MATEMATICA

LOS TRES PROBLEMAS CLASICOS DE LA MATEMATICA GRIEGA

Dice el historiador matemático Morris Kline que: “La reconstrucción de la historia de la matemática griega, basada en las fuentes originales, ha resultado una tarea gigantesca y complicada”.

En efecto, la mayoría de los conocimientos matemáticos griegos provienen de dos comentaristas: Proclo (410-485 d.J.C.) y Pappus (siglo III d. J.C.), además se disponen de pequeñísimos fragmentos citados por Simplicio (primera mitad del siglo VI d.J.C.) y tomada literalmente de “La Historia de la Geometría” de Eudemo; existen fragmentos de Arquitas recogidos por los matemáticos alejandrinos y por ultimo han resultado de enorme valor para la historia de la matemática griega los escritos de los filósofos y especialmente los de Platón y Aristóteles.

Lo que estamos en condiciones de afirmar, de acuerdo a las fuentes disponibles, es que:

Hacia el siglo V d.J.C. comenzaron a circular por la Grecia antigua una serie de problemas que cautivaron a los matemáticos de la época. ¿Cómo Surgieron? Hay muchas historias detrás de los mismos, pero seguramente su origen se encuentre relacionado con el afán de solucionar problemas análogos a otros, que ya fueron solucionados anteriormente.

Entre los muchos problemas planteados en este contexto hay tres que traspasaron la “barrera del tiempo” e interesaron de manera especial a los científicos griegos, nos referimos a: el problema de la cuadratura del círculo, el problema de la trisección del ángulo y el problema de la duplicación del cubo.

Enunciado de los tres problemas:

Utilizando únicamente regla y compas:

Dado un cubo cualquiera, construir otro cubo de volumen el doble del anterior: duplicación del cubo.

Dado un ángulo cualquiera, construir un ángulo que sea la tercera parte del ángulo dado: trisección del ángulo.

Dado un círculo cualquiera, construir un cuadrado que tenga el mismo área del círculo: cuadratura del círculo.

Como puede observarse, estos tres problemas surgen de manera natural si tratamos de generalizar los que a continuación se proponen:

Utilizando únicamente regla y compas:

Dado un cuadrado cualquiera, construir otro cuadrado de área el doble del anterior: duplicación del cuadrado.

Dado un ángulo cualquiera, construir un ángulo que sea la mitad del ángulo dado: bisección del ángulo.

Dado un polígono cualquiera, construir un cuadrado cuya área sea igual a la del polígono: cuadratura del polígono.

Una vez examinados los esquemas y razonamientos anteriores, llegamos a una serie de conclusiones ciertamente interesantes. Así, la figura 1 resuelve de manera inmediata el problema de la duplicación del cuadrado. Las figuras 2, 3, y 4 nos muestran la manera de cuadrar el rectángulo de dimensiones a y b mediante el teorema de la altura. La figura 5 nos sugiere la manera de cuadrar un triangulo cualquiera. Mientras las figuras 6 y 7 nos dan la pauta para cuadrar un cuadrilátero cualquiera y nos deja a las puertas de cuadrar cualquier polígono convexo.

Podemos, por lo tanto, recapitular y decir que: son cuadrables los triángulos, los rectángulos, los cuadriláteros, pentágonos,… y en general cualquier polígono. Así, estamos en condiciones de preguntarnos: ¿Por qué no va a ser cuadrable un círculo? Además, Hipócrates de Quíos (470-400 a.J.C.) demostró que ciertos trozos de círculos llamados lúnulas son cuadrables. En particular, obtuvo que las siguientes lúnulas sean cuadrables:

(BEA) ̂ arco de circunferencia con centro en C

(BFA) ̂ arco de circunferencia con centro en O

(ABC) ̂ aco de circunferencia con centro en E

(ADC) ̂ arco de circunferencia con centro en O

Por lo tanto: ¿Qué razón habría para no ser cuadrable todo el círculo? En definitiva, ¿Qué podría fallar en el paso de lo particular a lo general?

Para mí, el problema más interesante fue el de la duplicación del cubo. El deseo de buscar dos medias proporcionales entre dos valores dados pudo ser su origen, esto es: dados a y b, calcular dos valores x e y, tales que verifiquen las siguientes relaciones:

a/x=x/y=y/b

En el caso particular de que b=2a, obtenemos que el valor de x es el valor del lado del cubo que estamos buscando.

No surge por lo tanto, la siguiente pregunta: ¿Cómo construir los valores x e y medias proporcionales entre los valores a y 2a?

El concepto de introducir dos medias proporcionales x e y entre los valores a y 2a daría lugar a las siguientes igualdades:

a/x=x/y=y/2a

Una de las respuestas más sorprendentes es la que presento Arquitas de Tarento (430-365 a.J.C.). Dice Arquitas que: la intersección de un cilindro recto, un cono circular y un toro da como solución un punto que justamente tiene como

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