Propiedades De Los Conjuntos

Propiedades de los conjuntos

Intersección de conjuntos

La intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D:

P = {2, 4, 6, 8, 10,...}

C = {1, 4, 9, 16, 25,...}

D = {4, 16, 36, 64,...}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Dados dos conjuntos A y B, la intersección de ambos, A ∩ B es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

Propiedad Conmutativa.

Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

Sea E un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria o ley de composición interna *, es decir una aplicación:

Se dice que * es conmutativa si verifica para todo (x,y) de E×E la igualdad x * y = y * x. Escrito formalmente:

Este diagrama ilustra la conmutatividad: p es la permutación de las variables x e y. Da el mismo resultado recorrer la flecha horizontal, es decir aplicar la operación * que recorrer la flecha vertical (permutar las variables) y luego la diagonal (aplicar * ).

Estos diagramas, donde el resultado no depende del trayecto sino sólo del punto de partida y el de llegada se llaman diagramas conmutativos (sí, con la misma palabra). Se suele indicar esta propiedad con un círculo inscrito en el "ciclo12313131131313".

Por convención, si una operación se escribe con el símbolo +, siempre se supone que es conmutativa. Esta convención no es válida para el producto × ni • pues, por ejemplo, el producto de matrices no es conmutativo en dimensión superior a 1, ni el de los números cuaterniones. El producto vectorial tampoco es conmutativo. Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

Intersección con el Vacío

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades generales:

• El conjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de "el conjunto vacío" y no de "un conjunto vacío").

• El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:

• El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito :

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

La unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en

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