Propiedades de los estimadores

Propiedades de los estimadores

1. Sea λ un parámetro y λ̂ su estimador, si:

E(λ̂) = λ, entonces λ̂ es un estimador insesgado.

1. Se llama sesgo de un estimador a:

Sesgo(λ̂) = E(λ̂) – λ

1. Sean λ̂1 y λ̂2 estimadores insesgados de λ, si

V(λ̂1) < V(λ̂2)

Entonces λ̂1 es un estimador insesgado de varianza mínima. (el estimador de varianza mínima es mejor estimador que aquellos con mayor varianza).

1. Sea λ un parámetro y λ̂ su estimador, el error cuadrático medio del estimador esta dado por:

ECM(λ̂) = V(λ̂) + (sesgo(λ̂))2

        = E(λ̂ - λ)2                a menor error mejor estimación

Ejemplo:

Sea X: N° de accidentes en un mes, donde X_Poisson(λ). Se toma una ma(8) y se obtuvo:

                        0 – 1 – 2 – 0 – 1 – 1 – 3 – 1

Calcular P(X=2) = [pic 1]

Encontrar un Estimador para λ.

Se proponen los siguientes estimadores:

λ̂1 = x̅

λ̂2 = 2x3 – x5

λ̂3 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5

Estudio de sesgo λ̂1

        Es insesgado si 🡪 E(λ̂1) = E(x̅)

                                = [pic 2]

                                =(1/8)*(E(x1) + E(x2) + E(x3) + … + E(x8))

                                =  =  = 8λ/8 = λ [pic 3][pic 4]

Por lo tanto es insesgado, puesto que se cumple la propiedad 1

Estudio de sesgo λ̂2

                        E(λ̂2) = E(2x3 – x5)

                                  = 2E(x3) – E(x5) = 2λ – λ = λ

Por lo tanto es insesgado, puesto que se cumple la propiedad 1

Estudio de sesgo λ̂3

                        E(λ̂3) = E(x1 + x2 + x3 + x4 + x5) = 5λ

Por lo tanto λ̂3 esta sesgado, es decir no es insesgado.

¿Con cuál estimador insesgado me quedo?

R: Varianza mínima

                        V(λ̂1) = V(x̅) =    = (1/8)2*[pic 5][pic 6]

                                = (1/64) * = 8λ/64 = λ/8[pic 7]

V(λ̂2) = V(2x3 – x5) = 4*V(x3) + V(x5) – 2 cov(2x3 – x5)        lo que está en rojo              se hace cero        

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