Proposiciones De Euclides

PROPOSICIÓN 4 LIBRO I

Proposición 4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, entonces también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.

Sean ABC y DEF dos triángulos con dos lados AB y AC iguales a DE y DF respectivamente, a saber AB igual a DE y AC igual a DF, y el ángulo BAC igual al ángulo EDF.

Yo digo que la base BC es también igual a la base EF, el triángulo ABC es igual al triángulo DEF, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales, es decir, el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, y el ángulo ACB es igual al ángulo DFE.

Si se superpone el triángulo ABC sobre el triángulo DEF, y el punto A sobre el punto D y la línea recta AB sobre DE, entonces el punto B coincide también con E, porque AB es igual a DE.

De nuevo, AB coincidiendo con DE, la línea recta AC también coincide con DF, porque el ángulo BAC es igual al ángulo EDF. Dado que el punto C también coincide con el punto F, porque AC es de nuevo igual a DF.

Pero B tabién coincide con E, dado que la base BC coincide con la base EF y son iguales. [Nociones Comunes 4].

Así el triángulo entero ABC coincide con el triángulo entero DEF y son iguales.

Y los ángulos restantes coinciden también con los ángulos restantes y son iguales, el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, y el ángulo ACB es igual al ángulo DFE.

Por lo tanto si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y los ángulos comprendidos por líneas rectas iguales son iguales, entonces tiene las bases iguales, el triángulo es igual al triángulo, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales.

Q.E.D.

.4 Si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y tienen iguales los ángulos contenidos por los lados iguales, entonces también tienen la base igual a la base, el triángulo igual al triángulo, y los ángulos restantes iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber aquellos opuestos a los lados iguales. (LAL).

Reescribiendo en lenguaje actual la Proposición I.4 ( Primer criterio de congruencia de triángulos):

1.4 Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. (LAL ).

Hipótesis:

Los triángulos y son tales que, AB = DE, AC = DF y

= .

Tesis:

Demostrar que: BC = EF,

y

.

Demostración.

Demostraremos que los triángulos y son iguales, usando el método de superposición.

Si el triángulo es superpuesto sobre el triángulo , de tal manera que,

P1.

el punto A es colocado sobre el punto D y el lado AB sobre DE, como AB= DE, entonces el punto B debe coincidir con el punto E.

P2.

Como AB coincide con DE y como ,

P3.

el lado AC debe coincidir con DF, puesto que AC = DF, entonces el puntoC coincide con el punto F.y por lo tanto, el punto B coincide con el punto E.

P4.

Pero, B coincide con E, en consecuencia el lado BC coincide con el ladoEF y por lo tanto, BC = EF.

P5.

Por lo tanto, todo el triángulo ABC coincide con todo el triángulo DEF. Y en base a la Noción común 4, tenemos

.

Y los ángulos restantes del triángulo ABC coinciden con los ángulos restantes del triángulo DEF, a saber,

y .

Esto es, los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.

Por lo tanto,

si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son iguales. (L - A - L).

PROPOSICIÓN 5 LIBRO I

Proposición 5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.

ABC un triángulo isósceles con el lado AB igual al lado AC, y sean las líneas rectas BD y CE alargadas en línea recta con AB y AC. [I Def.20].

Yo digo que el ángulo ABC es igual al ángulo ACB, y el ángulo CBD es igual al ángulo BCE.

Tomar un punto F arbitrariamente sobre BD. Quitar del segmento mayor AE un segmento AG igual al menor AF, y trazar las líneas rectas FC y GB. [I 3].

Dado que AF es igual a AG, y AB es igual a AC, entonces los dos lados FA y AC son iguales a los dos lados GA y AB, respectivamente, y contienen un ángulo común, el ángulo FAG.

Entonces la base FC es igual a la base GB, el triángulo AFC es igual al triángulo AGB, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales, es decir, el ángulo ACF es igual al ángulo ABG, y el ángulo AFC es igual al ángulo AGB. [I 4].

Dado que el entero AF es igual al entero AG, y en ellos AB es igual a AC, entonces el restante BF es igual al restante CG. [Nociones comunes 3].

Pero se ha demostrado que FC es también igual a GB, entonces los dos lados BF y FC son iguales a los dos lados CG y GB respectivamente, y el ángulo BFC es igual al ángulo CGB, mientras la base BC es común a ambos. Entonces el triángulo BFC es también igual al triángulo CGB, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber, los opuestos a los lados iguales. Entonces el ángulo FBC es igual al ángulo GCB, y el ángulo BCF es igual al ángulo CBG. [I 4].

Por consiguiente, dado que se ha demostrado que el ángulo entero ABG es igual al ángulo ACF, y en ellos el ángulo CBG es igual al ángulo BCF, el ángulo restante ABC es igual al ángulo restante ACB, y están en la base del triángulo ABC. Pero se ha demostrado que el ángulo FBC es igual al ángulo GCB, y están debajo la base. [Nociones comunes 3].

Entonces en un triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí, y, si se alargan las líneas rectas iguales, entonces los ángulos debajo de la base son iguales uno al otro.

Q.E.D.

Reescribiendo la Proposición I.5 en lenguaje actual:

.5 En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí, y, si las dos rectas iguales se prolongan, los ángulos por debajo de la base serán iguales entre sí.

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