Propuestas y realizadas por Polya

PASO 1: COMPRENDER EL PROBLEMA

DESARROLLO VERBAL

Operaciones mentales

DESARROLLO MATEMATICO

Problema número 35 :

Encuentre el volumen del cono circular recto más grande que puede inscribirse en una esfera de radio R.

[pic 8]

En el presente problema, al pedirse el volumen máximo del cono recto circular inscrito en la esfera, entonces se debe tener en cuenta la teoría de optimización que está ligada estrechamente con el cálculo diferencial, en los que se involucran conceptos de maximización y minimización.

Otro aspecto importante a recalcar es el reconocimiento tanto de las variables como de las constantes involucradas en el problema, y la relación que existe entre ellas evitándose así cualquier tipo de ambigüedades en la resolución del problema.

• Identificación de los datos en el problema:

[pic 9]

R: Radio de la esfera

r: Radio de la base del cono

h: Altura del cono

• Se tienen claramente reconocidas las variables h y r, puesto que a medida que varía el volumen del cono estas también lo harán.
• R juega el papel de constante, puesto que es independiente al cambio en el volumen del cono.
• También se pueden relacionar h, r y R mediante el teorema de Pitágoras (será evaluado posteriormente).

PASO 2. CONFIGURAR UN PLAN

DESARROLLO VERBAL

Operaciones mentales

DESARROLLO MATEMATICO

Se debe configurar el plan más adecuado para la resolución del problema, teniendo en cuenta la función que será estudiada bajo el concepto de optimización.

Como se pide encontrar el volumen máximo del cono, entonces la función a estudiar debe estar relacionada con el volumen de este; por lo tanto esta deber quedar expresada en términos de la menor cantidad de variables posibles, para posteriormente derivar la función con el objetivo de encontrar resultados candidatos a máximos o mínimos corroborados finalmente con la aplicación de la segunda derivada.

• Volumen del cono: [pic 10]

[pic 11]

• Relación entre R, r y h mediante el teorema de Pitágoras:  [pic 12]

        [pic 13]

• Reemplazando la relación encontrada mediante el teorema de Pitágoras en la ecuación de volumen del cono:  [pic 14]

PASO 3: EJECUTAR EL PLAN

DESARROLLO VERBAL

Operaciones mentales

DESARROLLO MATEMATICO

Según teoría, es necesario proceder con la derivación de la función obtenida en el paso anterior, y luego igualar a cero dicha expresión para poder obtener los valores convenientes que servirán para la resolución del problema.

Debido a que la altura del cono no puede ser cero, se elige entonces el primer resultado obtenido, correspondiente a, y se reemplaza en la ecuación de volumen del cono.[pic 15]

• Derivando la función con respecto de h:  [pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

• Igualando a cero la expresión :  [pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

• Como la altura del cono no puede ser cero, entonces se tomará el otro valor en la consideración del volumen máximo de este:

 [pic 24]

PASO 4: MIRAR HACIA ATRÁS

DESARROLLO VERBAL

Operaciones mentales

DESARROLLO MATEMATICO

En consecuencia, el máximo absoluto de la función corresponde a  . Para corroborar el resultado obtenido se debe reemplazar el valor encontrado de h, en la segunda derivada de la función volumen, y verificar que esta sea estricto menor que cero, así el valor de h representa  un máximo de la función. [pic 25]

Haciendo una retrospectiva del problema y analizando finalmente los valores obtenido para el máximo volumen del cono, se deja en evidencia ningún tipo de ambigüedad que hagan de los resultados hallados una respuesta y resolución absurda del problema planteado.

• Aplicando la segunda derivada de la función: [pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

• Reemplazando h en la segunda derivada: : [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]