Práctica 3 “Ecuaciones de Lorenz”

Práctica 3

“Ecuaciones de Lorenz”

 U.N.A.M., 22 de octubre de 2018

Méndez López Luis Ángel                         luiss@ciencias.unam.mx

Resumen:

En esta práctica usamos el método de Runge-Kutta de Orden 4 para analizar algunas de las propiedades del sistema de Lorenz, con los parámetros más usados  ,  pero dejamos a r  como parámetro de control. [pic 1]

Introducción

En 1963, el meteorólogo del MIT Edward Lorenz [1] construyó un modelo altamente simplificado de un fluido de convección. Este modelo simple también muestra una gran variedad de comportamientos y para algunos valores de parámetros es caótico [2].

Formulado por primera vez en 1963 por E. N. Lorenz como un modelo de convección atmosférica muy simplificado, este sistema posee lo que se conoce como un atractor extraño [3].

El sistema viene dado por:

[pic 2]

Donde x mide la tasa de vuelco convectivo, y mide la variación horizontal de la temperatura, z mide la variación vertical de la temperatura, σ es el número de Prandtl, r es el número de Rayleigh y b es un factor de escala. El número de Prandtl está relacionado con la viscosidad del fluido, y el número de Rayleigh está relacionado con la diferencia de temperatura entre la parte superior e inferior de la columna [2].

Nosotros estudiaremos el sistema cuando  (como lo hizo Lorenz), variando el parámetro r.[pic 3]

Estudiaremos algunas de las propiedades simples que se enlistan ahora [2]:

1. El sistema presenta simetría natural: (x, y, z) → (−x, −y, z),

1. En particular, si (x (t), y (t), z (t)) es una solución de las ecuaciones de Lorenz, entonces también lo es (−x (t), - y (t), z (t)).

1. El eje z es invariante ante tal transformación

1. En dicho eje las ecuaciones se reducen a z’ = −bz, y por lo tanto todas las soluciones tienden al origen sobre este eje (sin importar el valor de r)

1.  Si 0 < r < 1, el origen es el único punto crítico y el sistema es un atractor global.

1. Esto quiere decir que toda solución llega al equilibrio en el origen sin importar las condiciones iniciales.
2. De hecho, todas las soluciones rotan alrededor del eje z en dirección horaria en el plano z= 0 [3]. Esto se sigue del hecho de que si x=0 entonces x’>0 si y>0 y x’<0 si y<0.

1. En r=1, hay una bifurcación y aparecen dos puntos críticos más para r>1:

 [pic 4]

[pic 5]

1. Si 1 < r <   el origen es inestable y los puntos y  son estables[pic 6][pic 7][pic 8]
2. En  hay una bifurcación homoclinica  y el sistema entra en un estado transitorio al caos[pic 9]
3. En   se forma un atractor extraño[pic 10]
4. Si r > , entonces y  pierden su estabilidad y las trayectorias alrededor de dichos puntos se mueven de manera impredecible.[pic 11][pic 12][pic 13]

1. Propiedades del atractor:

1. Las trayectorias permanecen en el atractor “para siempre”
2. La forma general es independiente de las condiciones iniciales
3.  EL sistema es sensible a las condiciones iniciales. 

Método

El método de Runge-Kutta de cuarto orden (rk4) obtiene una precisión de  al aproximar  como una serie de Taylor hasta  (una parábola) en el punto medio del intervalo. Esta aproximación proporciona un excelente equilibrio de potencia, precisión y simplicidad de programación. Ahora hay cuatro términos para evaluar con cuatro llamadas de subrutina necesarias para proporcionar una mejor aproximación a cerca del punto medio. Esto es computacionalmente más costoso que el método de Euler, pero su precisión es mucho mejor, y el tamaño de paso h puede hacerse más grande. Explícitamente se tiene [4]:[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Donde en este caso [pic 23]

Se realizó un programa con este método iterativo, el cual se encuentra en un apéndice de la práctica.
La parte de “calcular los números” es relativamente sencilla en el programa, es simplemente un ciclo “for” en el cuál se calcula cada una de las ecuaciones anteriores, dando un total de 15 ecuaciones en cada paso (3 para cada componente de )[pic 24]

Además, en el mismo programa se incluyó algo más interesante. Recordemos que para   el sistema alcanza siempre el equilibrio, por lo tanto si el usuario da un tiempo muy grande la computadora seguirá calculando valores de  aun cuando ya no “cambien” mucho, y así pues interrumpimos el ciclo “for” si el sistema ya no cambia en más de , esto para ahorrar memoria. [pic 25][pic 26][pic 27]

Además, si r>1 calculamos los puntos críticos con las fórmulas dadas en la sección 4 de la introducción, y por medio de diferencias vemos a que punto crítico se acerca el sistema, o si no se ha acercado a ningún punto crítico.

Además, la última parte de nuestro programa realiza de manera automática las gráficas, esto para ahorrar tiempo, pues analizaremos varios casos y es muy tedioso hacer gráfica por gráfica.

Resultados

Propiedad 1.

Se trazó la proyección en el plano xy de 3 casos con distintos valores de r. De un lado utilizamos condiciones iniciales  y del otro .[pic 28][pic 29]

Usando r=5,  se obtiene  la fig. 1[pic 30]

[pic 31]

Fig 1.  Proyección de las trayectorias en el plano xy con r=5

Usando r=12,  se obtiene  la trayectoria de la figura 2.[pic 32]

[pic 33]

Fig 2.  Proyección de las trayectorias en el plano xy con r=12

Usando r=28,  se obtiene  la trayectoria de la figura 3.[pic 34]

[pic 35]

Fig 3.  Proyección de las trayectorias en el plano xy con r=28

Propiedad 2.

Para comprobar que el eje z es invariante, de las trayectorias obtenidas en el caso anterior (r=28) trazamos la proyección en el plano yz, como se muestra en la figura 4.

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