RAICES HISTORICAS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 40

TURNO MATUTINO

JILOTEPEC, MÉXICO

RAICES HISTORICAS DE LA GEOMETRIA ANALITICA

(ENSAYO)

JOSÉ IGNACIO CALDERON SANTANA NL: 11

2do “2”

CICLO ESCOLAR

2013 – 2014

INTRODUCCIÓN

Sin lugar a dudas, puede afirmarse que muy pocos aspectos o ramas de las matemáticas pueden asignarse al trabajo de un único individuo. La Geometría Analítica no fue la excepción a esto, es decir, no fue un producto exclusivo de sus

Investigaciones, sino más bien, la síntesis de varias tendencias matemáticas convergentes en los siglos XVI y XVII. Entre los autores que contribuyeron a las tendencias citadas pueden contarse Apolonio, Euclides, Diofanato, Pappus y muchos otros matemáticos. Resulta de particular interés ,por su magnitud e importancia, el trabajo de Apolonio (262–190 a.deC.), Las Cónicas1 , en el que ya se advierten, respecto al uso de coordenadas, muchos aspectos tan similares a los acercamientos modernos, tanto que, en algunas ocasiones, es juzgado como una geometría analítica que se anticipó a aquella de Descartes y Fermat por 1800 años, en la que se identifican formas retóricas de las ecuaciones de las curvas establecidas por Apolonio como relaciones entre las abscisas y las ordenadas. Las abscisas y las ordenadas de la época eran aplicaciones de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en sus extremos en particular, lo que no hace diferencias esenciales con un marco coordenado rectangular, o más generalmente, oblicuo. En este sistema de referencia, las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e intersecados entre el eje y la curva son las ordenadas. Sin embargo, el álgebra geométrica Griega no tenía magnitudes negativas y, aún más, el sistema coordenado en cada caso era construido a posteriori con el fin de estudiar las propiedades de una curva dada y no a priori para propósitos de representación gráfica de una ecuación o relación expresada, ya fuera retórica o simbólicamente.

Desarrollo

La Geometría Analítica es un poderoso instrumento de ataque de los problemas geométricos que utiliza como herramienta básica el Álgebra. La esencia de su aplicación en el plano es el establecimiento de una correspondencia entre los puntos del plano y pares ordenados de números reales, es decir, un sistema de coordenadas, lo que posibilita una asociación entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables, de modo que cada curva del plano tiene asociada una ecuación f (x,y) = 0 y, recíprocamente, para cada ecuación en dos variables está definida una curva que determina un conjunto de puntos en el plano, siempre respecto de un sistema de coordenadas. La Geometría Analítica es, pues, una especie de diccionario entre el Álgebra y la Geometría que asocia pares de números a puntos y ecuaciones a curvas.

LAS CÓNICAS DE APOLONIO, LOS PORISMAS DE EUCLIDES, LA ARITMÉTICA DE DIOFANTO Y LA COLECCIÓN MATEMÁTICA DE PAPPUS

Las Geometría Analíticas de Fermat y Descartes constituyen un salto revolucionario sin precedentes en la Historia de la Matemática. Para ponderar en su justo valor el nuevo instrumento científico y comprender cómo tuvo lugar su gestación es imprescindible conocer la naturaleza que adoptó la Geometría griega ante la solución que le dio Eudoxo (408-355 a.C.), mediante la Teoría de la Proporción, a la tremenda crisis de fundamentos provocada por la aparición de los inconmensurables, con la consiguiente estructuración rígida de la Matemática griega elemental en la enciclopédica obra de Los Elementos de Euclides, que establece como paradigma un estilo 206 Pedro Miguel González Urbaneja SIGMA Nº 30 • SIGMA 30 zk. Proposiciones II.5, II.6 y II.7 del Álgebra Geométrica del Libro II de Los Elementos de Euclides (primera impresión, E.Ratdolt, Venecia, 1482) Tras la aparición de los inconmensurables los griegos no pueden manejar numéricamente longitudes y áreas de modo que operan directamente con las figuras que se tratan como magnitudes.

EL ANALISIS GEOMETRICO GRIEGO Y LA GEOMETRIA ANALITICA

Así aparece el Álgebra Geométrica del Libro II de Los Elementos de Euclides como un algo- ritmo geométrico para resolver los problemas sin cálculo literal. Los números son segmentos de recta y las operaciones se realizan mediante construcciones geométricas la suma de dos números se realiza yuxtaponiendo segmentos, el producto es el área del rectángulo de lados las longitudes de esos números y una raíz cuadrada es equivalente a la construcción de un cuadrado de área igual a la de un rectángulo dado–. En las primeras diez proposiciones del Libro II Euclides establece la equivalencia geométrica de las prin- cipales identidades algebraicas muy habituales en la práctica escolar. Las figuras geométricas que utiliza Euclides permiten utilizar el Álgebra Geométrica como un eficaz instrumento para la resolución de ecuaciones cuadráticas, mediante el método de la Aplicación de las áreas, lo que supone que el Libro II juegue un papel funda- mental en la Geometría griega.

Se atribuye al más famoso de los discípulos de Eudoxo, Menecmo (hacia 350 a.C.) de la Academia platónica, maestro de Aristóteles y Alejandro Magno, la introducción de las seccio- nes cónicas, es decir, el descubrimiento de las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola (la llamada Triada de Menecmo), obtenidas como sección por un plano perpendicular a una generatriz de conos rectos de tres tipos, según que el ángulo en el vértice sea agudo, recto u obtuso. Realmente hay una gran similitud entre los desarrollos de Menecmo en relación a expresiones equivalentes a ecuaciones y la utilización de coordena- das, lo que ha inducido a algunos historiadores a afirmar que este geómetra ya conocía ciertos aspectos de la Geometría Analítica. De hecho ignorando el lenguaje de ésta se hace difícil interpretar el hallazgo de Menecmo.

EL TRACTATUS DE LATITUDINIBUS FORMARUM DE ORESME.

Las cónicas se definen ahora como lugares de puntos en el plano para los que las distancias a una recta (directriz) y a un punto (foco) están en una determinada razón (excentricidad). Esta definición se traslada de forma muy simple al lenguaje algebraico de ecuaciones de nuestra Geometría Analítica. Realmente impresiona la sagacidad de Menecmo al descubrir la familia más útil de curvas de todas las ciencias y en ausencia del simbolismo algebraico. Pero no sólo esto, sino que, independiente de su origen plano o estereométrico,

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