ROTACION DE EJES COORDENADOS

ROTACION  DE EJES COORDENADOS

Se tienen dos sistemas coordenados ortonormales, los cuales comparten el origen de coordenadas. El ángulo entre pares de ejes homólogos es [pic 1]

Un punto P cualquiera del plano tiene coordenadas [pic 2] con referencia al sistema [pic 3] y coordenadas [pic 4] con referencia al sistema [pic 5]

[pic 6]

Para encontrar la relación entre estos sistemas se debe observar la figura:

[pic 7]

[pic 8]      [pic 9]        [pic 10]                [pic 11]

[pic 12]        lo cual es equivalente a: [pic 13]

Por lo tanto cuando se quiera encontrar la ecuación de algún lugar geométrico rotado un ángulo [pic 14] (sentido antihorario de x a [pic 15]) se deben de usar de estas ecuaciones de transformación

Recordemos que la ecuación mas general de segundo grado tiene la forma: [pic 16] 

Donde A, B, C, D, E, F son números reales, con A, B, C  no nulos simultáneamente.

Demostraremos que siempre es posible rotar los ejes de modo que en el nuevo sistema no haya término [pic 17]

Para eso tomamos las ecuaciones [pic 18]         

y reemplazamos en la ecuación general de segundo grado. Entonces tenemos:

[pic 19]

Sumando estas ecuaciones, obtenemos (después de desarrollar el segundo miembro):

[pic 20]; [pic 21]

Donde [pic 22]son abreviaturas de:

[pic 23]

 Nuestro propósito es escoger [pic 24] de modo que el término en [pic 25]no aparezca para que [pic 26]sea cero. Igualamos [pic 27]a cero y vemos que ocurre:

[pic 28]

Recordemos de la trigonometría: [pic 29] y [pic 30]

Y escribimos [pic 31] o bien [pic 32]

En otras palabras, si elegimos [pic 33] de modo que [pic 34], obtenemos que[pic 35]sea cero. Siempre existe un ángulo [pic 36] entre 0 y [pic 37] que satisface esta ecuación.

En vez de la expresión [pic 38]; podríamos usar [pic 39]

ROTOTRASLACION DE CONICAS

Una ecuación cuadrática en dos variables es de la forma:

[pic 40] (a)

Donde A, B, C, D, E, F son números reales, con A, B, C  no nulos simultáneamente.

La ecuación anterior representa una cónica rotada (ya sea una cónica no degenerada: elipse, hipérbola o parábola, o una cónica degenerada: par de rectas o puntos). El término bxy indica la rotación, es decir, el eje focal no es paralelo a ninguno de los ejes coordenados x, y con respecto a los cuales está expresada la cónica.

La ecuación (a) puede escribirse en forma matricial como:

[pic 41]

[pic 42] 

Siendo [pic 43] [pic 44] [pic 45] [pic 46]

Observemos que la matriz A es una matriz simétrica.

Para identificar a la cónica debemos escribir la ecuación en otro sistema de coordenadas, rotado con respecto al sistema original, de modo que la cónica tenga su eje focal paralelo a alguno de los ejes de este nuevo sistema de coordenadas cartesianas [pic 47] 

Para encontrar este nuevo sistema de coordenadas [pic 48]será necesario diagonalizar la matriz A, esto permitirá anular el coeficiente b del término rectangular [pic 49]lo cual significa que la cónica estará expresada en un nuevo sistema de coordenadas [pic 50]con respecto al cual el eje focal será paralelo, y podremos así identificar a la cónica. Además por ser la matriz A simétrica, su diagonalización será ortogonal, y sus autovectores normalizados generan el nuevo sistema de coordenadas.

El método para rototrasladar una cónica consiste en:

1. Encontrar los autovalores [pic 51] de la matriz A.
2. Encontrar los autovectores normalizados de la matriz A: [pic 52].
3. La matriz P que diagonaliza orgonalmente a la matriz A es [pic 53]

Donde el orden de las columnas debe ser tal que [pic 54], esto nos asegura que se produzca solamente una rotación de ejes.

Como P es una matriz ortogonal, [pic 55]

1. La ecuación de la cónica en el nuevo sistema de coordenadas es:

[pic 56]

O en forma compacta [pic 57]

Resulta: [pic 58]

Y en esta ecuación no aparece el término xy, luego podemos identificar a la cónica

EJEMPLO 1:

[pic 59] Sea [pic 60] identificar la cónica mediante una rototraslación conveniente y graficar.

Escribimos la ecuación en forma matricial como:

[pic 61] 

Como A es simétrica, diagonalizamos ortogonalmente, para lo cual debemos encontrar sus autovalores y autovectores

1. Cálculo de los autovalores:

[pic 62]

[pic 63] (ecuación característica)

 Los autovalores son [pic 64]

1. Cálculo de los autovectores: [pic 65]

1. Autovector correspondiente al autovalor [pic 66]  [pic 67]  [pic 68] ,

normalizando el autovector, [pic 69]

1.  Autovector correspondiente al autovalor [pic 70]  [pic 71]  [pic 72] ,

normalizando el autovector, [pic 73]

Luego la matriz P que diagonaliza a la matriz A es   [pic 74]  además [pic 75] , luego el orden de las columnas es el correcto.

Entonces la matriz semejante a la matriz A es [pic 76]

Por último la ecuación de la cónica rotada es:  [pic 77]

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