Relaciones de orden

TALLER 7: RELACIONES DE ORDEN

1. En el conjunto de los seres humanos considere la relación “es el hijo o hija de”. ¿Es una relación de orden? ¿Cómo se puede extender a una relación de orden?

2. Considere el conjunto de los números reales con el orden ≤ usual y sea considere:

A = {(-1)ᶯ(1-⅟n) : n= 1,2,3,…}.

Halle inf A y sup

Solución:

A = {0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,…,1}

Inf = -1

Sup = 1

3. hallar, si los hay, los elementos maximales, minimales, máximo y mínimo para los siguientes conjuntos ordenados:

a. (P(X),)

b. ((0,1), ≥)

c. (INI)

d. (IN-{1}, I)

4. En cada uno de los casos siguientes, dígase si el conjunto A tiene o no una cota inferior, y si tiene alguna hállese su ínfimo si existe:

a. A = {xϵz; x² ≤ 16)

Solución:

x≤4

(-∞, 4]

R/ no se puede determinar una cota inferior.

b. A = {xϵz; x = 2y para algún yϵz}

c. A = {xϵz; x² ≤ 100x}

Solución:

x ≤ 10x

x/x ≤ 10

1 ≤ 10

(1, 10]

R/ cota inferior = 1

5. Sea T = {a, b, c, d, e, f, g} la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe que unas preceden inmediatamente a otras de la siguiente forma: f≤a, f≤d, e≤b, c≤f, e≤c, b≤f, e≤g, g≤f. Hallar el orden parcial. ¿Qué tareas pueden realizarse independientemente? Construir un orden si el trabajo lo realizaría solo una persona.

Solución:

d

a

f

g

b

e

Las tareas que pueden realizarse independientemente la una de las otras son las d y e.

d

a

f

c

e

g

b

6. Dado el conjunto B = {2, 4, 6, 10, 12, 30}, se define en la siguiente relación: xRy si “x divide a y”

a. Demostrar que es una relación de orden. ¿Es total o parcial?

b. Dibujar el diagrama de Hasse y hallar la matriz asociada a la relación.

c. Dado C = {4, 6}, subconjunto de B, hallar sus elementos característicos.

Solución:

a. R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10), (2, 12), (2, 30), (4, 4), (4, 12), (6, 6), (6, 12), (6, 30), (10, 10), (10, 30), (12, 12), (30, 30)}

R es reflexiva (si), 30ϵB y (30, 30) ϵR

R es antisimétrica (si), (2,4) ϵR y (4,2)ɇR

R es transitiva (si), (2,4) ϵR y (4,12) ϵR entonces (2,12) ϵR

R si es una relación de orden y es parcial.

b. 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0

Mr = 0 0 1 0 1 1

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