Resolver problemas: ayudar a los alumnos a pensar por st mismos

RESOLVER PROBLEMAS: AYUDAR

A LOS ALUMNOS A PENSAR POR SÍ MISMOS

María Luz Callejo de la Vega

Hay libros que son refe­ rencias obligadas cuando se abordan ciertos temas. Si de la resolución de pro­ blemas se trata, sin lugar a dudas lo es How To Solve lt (Cómo plantear y resolver problemas) de George Pólya: desde 1945, fecha de su aparición, hasta hoy se han vendido más de un millón de ejemplares y se ha traducido al menos a 17 lenguas; lo citan matemáti­ cos, psicólogos, pedago­ gos, filósofos y didactas. Es el primero de una trilogía en la que el autor va expo­ niendo sus ideas sobre cómo ayudar a los alumnos a pensar por sí mismos, a resolver problemas, al tiempo que trata de desen­ trañar las reglas de la lógi­

36

George Pólya

ca del descubrimiento o del "pensamiento plausible". En ellos vierte su rica experiencia como matemático y como profesor (Pólya tiene 58 años cuando publica How To Solve It), tratando de hacer explícitas preguntas y sugerencias que, según él son "naturales, sencillas, obvias, y nacen del sentido común".

La obra de Pólya ha ayudado a muchos profesores a redescubrir el sen­ tido de la educación matemática y a los investigadores a poner los cimien­ tos de una teoría que explique el proceso de resolución de problemas (Schoenfeld, 1987). En ambos campos hemos avanzado significativamente en las dos últimas décadas. Sin embargo, queda aún mucho camino por recorrer hasta que la resolución de problemas se convierta en el núcleo de la educación matemática y podamos responder a todas las cuestiones que tiene planteadas la investigación. De entre ellas me voy a centrar en una que es nuclear en la obra de Polya, ¿cómo ayudar a los alumnos a pensar por sí mismos?

Las matemáticas del siglo XX 179

Imitación y práctica

G. Pólya plantea la actividad de resolución de problemas como un arte en el que la imitación del maestro y la práctica ayudan a interiorizar un modo de hacer. Éste se basa en un proceso que comprende las conocidas cuatro fases: comprender el problema, concebir un plan, llevarlo adelante y revisarlo, que van ayudando a desbrozar el camino que conduce a la solución, gracias a sugerencias y preguntas que suelen utilizar quienes dominan este arte. Si se saben elegir y adaptar a cada problema, ofrecen pistas para diseñar un plan que, en el mejor de los casos, lleva a la meta perseguida. La actividad mental se traduce en un diálogo verbal con el maestro o en un diálogo interior con uno mismo.

En los ejemplos que expone, estos diálogos son muy lineales pues siempre se avan za hacia la solución y no hay rodeos ni vueltas atrás. Sin embargo, en la realidad las cosas suceden de otra manera y es frecuente bloquearse, quedarse "en blanco" o retroceder a una fase anterior. Durante el proceso es importante prestar atención a las decisiones que se van tomando, las razones que mueven a ello, adónde pueden llevar y plan­ tearse si conviene seguir en la misma dirección o cambiar.

Para quien tiene cierta práctica y habilidad resolviendo problemas, las fases de Pólya le parecen naturales, pero para quien no esté familiarizado con esta actividad, es necesario un aprendizaje previo de hábitos y acti­ tudes intelectuales que le ayuden a desarrollar el proceso. Por otra parte las sugerencias y preguntas que plantea Pólya son muy generales, como él mismo señala, y exigen saberlas seleccionar y aplicar a cada situación con-

36 creta; entre ellas algunas dan pistas muy específicas para la acción, como

"hacer una tabla", otras son muy vagas como "¿conoces un problema

semejante?" y otras como "eliminar una condición" señalan un procedi­

miento (Puig, 1996).

Para A. H. Schoenfeld (1985) las estrategias descritas por G. Pólya son "etiquetas" que designan familias de estrategias semejantes y, a diferencia de los algoritmos, no son prescriptivas sino que describen de manera general un procedimiento de resolución. Una vez seleccionada una de ellas hay que decidir cómo usarla. Por ejemplo, la estrategia "imaginar un problema más sencillo" se puede emplear de muchos modos, según de qué problema se trate. Aplicarla supone tomar una serie de decisiones:

- pensar en usarla (lo que no es trivial);

- decidir qué versión de la estrategia utilizar;

- buscar problemas apropiados más sencillos que sean útiles para resolver el problema;

- hacer la elección correcta del problema más sencillo;

-resolver el problema más sencillo buscando una forma de utilizar con éxito su solución para poder encontrar la del problema propuesto.

180 Resolver problemas: ayudar a los alumnos a pensar por sí mismos

Las ideas de Pólya en la clase

El diálogo que propone Pólya es difícil de llevar a cabo en una clase, sobre todo si es numerosa o los alumnos no están motivados por la mate­ mática. Además los "hábitos intelectuales", actitudes, creencias y prácti­ cas de los estudiantes, a veces no son los más adecuados y son difíciles de modificar.

Al observar estudiantes resolviendo problemas es frecuente constatar que la mayoría no dedican el tiempo necesario a preparar un plan de reso­ lución, pues no dejan aflorar aquellas ideas que puedan tener alguna rela­ ción con el problema, para luego elegir aquélla o aquéllas que parezcan que pueden llevar a obtener la solución; por el contrario, se lanzan direc­ tamente a desarrollar el primer plan que se les ocurre. También descuidan la fase de revisión y, una vez que han llegado a un resultado, consideran que han terminado y no se detienen a corregir o mejorar el proceso y a reflexionar para aprender del mismo.

El diálogo que Pólya propone se ha llevado al aula elaborando listas de preguntas para problemas concretos y para cada una de las fases, que se dan a los alumnos por escrito. Cuando están bien planteadas, las "buenas preguntas" deben iluminar el camino sin llegar a definirlo del todo, cerran­ do otras vías (un buen ejemplo lo encontramos en el libro Pensar mate­ máticamente

...