SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES QUE CONTIENEN TÉRMINOS NEGATIVOS

SERIES INFINITAS

SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES QUE CONTIENEN TÉRMINOS NEGATIVOS

Se subdividen en dos:

1. Series alternantes ∑ (-1)n an , ( n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…

Donde an > 0

2. Series ∑an, donde an es un número real

 Series alternantes

∑ (-1)n an, (n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…………, donde an > 0

Ej ∑ (-1)n+1 1/n, (n = 1 hasta n = ∞) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 –1/a6 + 1/7 – 1/8 +… Llamada la serie armónica alternante, que contrario a la serie armónica que es divergente, veremos más adelante que se trata de una serie convergente.

Criterio de convergencia de las series alternantes

La serie alternante

∑ (-1)n an, (n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…………, donde an > 0

Al igual que todas las series infinitas, su convergencia está condicionada a que

Lim an cuando n →∞ = 0, lo cual le da la posibilidad de ser convergente, pero no garantiza su convergencia. Esta condición es necesaria pero no suficiente.

Teorema Si una serie alternante es tal que Lim an cuando n →∞ = 0 y además a n+1 < an, para todo n, entonces la serie es convergente

Reescribamos la serie alternante:

∑ (-1)n an, (n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…………, donde an > 0

De la siguiente manera:

∑ (-1)n an = a0 – a1 +a2 – a3 + a4 – a5 + a6 – a7 + a8 – a9 +……..

∑ (-1)n an = (a0 – a1) + (a2 – a3) +( a4 – a5) + (a6 – a7) + (a8 – a9) +…hasta infinito

Si esta suma existe, sería positiva, ya que todos los sumandos entre paréntesis lo son (a n+1 < an)

También la podríamos reescribir así:

∑ (-1)n an = a0 – (a1 -a2) – (a3 - a4) –( a5 - a6) – (a7 - a8) – (a9 -……..

Que además de ser positiva, es tal que a0 es una cota positiva. Por tanto como la serie es acotada, es convergente.

 La serie:

∑ (-1)n+1 1/n, (n = 1 hasta n = ∞) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 –1/a6 + 1/7 – 1/8 +…

Evidentemente es convergente, ya que lim 1/n, cuando n→∞ = 0 y para todo n

1/n > 1/(n+1), lo cual es suficiente y necesario para confirmar la convergencia de la serie.

SERIES ABSOLUTA Y CONDICIONALMENTE CONVERGENTES

Definición

 Para las series de términos positivos y negativos se establece una clasificación. Estas series pueden ser absoluta o condicionalmente convergentes.

Una serie es absolutamente convergente cuando las series ∑an y ∑|an|, las dos son convergentes.

Ejemplo

∑ (-1)n+1 1/n2 es absolutamente convergente ya que:

Lim 1/n2, cuando n →∞ = 0 y además 1/n2 > 1(n+1)2 y por tanto la serie es convergente.

La serie de los valores absolutos es la serie ∑1/n2 y es una serie p con p > 1 y también es convergente. Por tanto ∑an y ∑|an|, son ambas convergentes y por consiguiente ∑an es absolutamente convergente.

Una serie ∑an es condicionalmente convergente, cuando ∑an es convergente, pero ∑|an| es divergente.

Ejemplo

La serie armónica alternada es condicionalmente convergente, ya que

Hemos demostrado que ∑ (-1)n+1 1/ n es una serie convergente

No obstante sabemos que

∑ 1/n que es la serie de los valores absolutos de la serie armónica alternante, es divergente.

Las series más generales son ∑an, donde an es un número real, que puede ser positivo o negativo, sin importar el orden.

Ejemplo

∑ sen n es una serie general ya que si n representa radianes:

Sen 1 + sen 2 + sen 3 + sen 4 + sen 5 + sen 6 +………….

0.8414 + 0.9093 + 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 + 0.6569 +….

Es imposible saber cuál es el signo de sen n

La serie de términos positivos asociada será:

∑ |sen n|, la cual si es positiva.

Las dos series anteriores son divergentes, porque lim sen n, cuando n →∞ no es 0.

Los criterios siguientes son válidos para todas las series.

 Criterio de la razón

 Si lim |an+1/an|, cuando n→∞ = L < 1, la serie ∑ an es absolutamente convergente.

 Si lim |a n+1/an|, cuando n→∞ = L > 1 o lim |a n+1/an|, cuando n→∞ = + ∞ (un número positivo tan grande como queramos, no un indeterminado), entonces la serie ∑ an es divergente.

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