Sea el que describe la trayectoria realizada por el avión durante el aterrizaje

1.  Sea el que describe la trayectoria realizada por el avión durante el aterrizaje. [pic 1]

Establecemos las siguientes condiciones para encontrar los valores apropiados de a, b, c y d.

1. Condiciones Iniciales:

1. La velocidad vertical del avión a la altura h (cuando x es L) es cero.
2. La aceleración vertical del avión a la altura h (cuando x es L) es cero.

1. Condiciones Finales:

1. La velocidad vertical del avión cuando esta toca la pista (y=0 e x=0)  es cero.
2. La aceleración vertical del avión cuando esta toca la pista (y= 0 e x=0) es cero.

1. Ecuación de velocidad

La ecuación de velocidad corresponde a la primera derivada de . [pic 2]

[pic 3]

1. Ecuación de aceleración

La ecuación de aceleración corresponde a la segunda derivada de .[pic 4]

 [pic 5][pic 6]

Una vez descritas las ecuaciones de velocidad y aceleración al igual que las condiciones iniciales y finales hallamos los valores de a, b, c y d.

De acuerdo con la ecuación de velocidad y la condición 1.1.2, se tiene:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Con la ecuación de aceleración y la condición 1.2.2, se tiene:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Al aterrizar el avión su altura es cero, por tanto:

[pic 13]

[pic 14]

Resumiendo:

[pic 15]

Entonces, el polinomio que describe el aterrizaje del avión es:

 [pic 16]

Para determinar el valor de a, nos basamos en el hecho de que cuando x es igual a L, la altura es h.

[pic 17]

Despejando a,

[pic 18]

Finalmente, el polinomio que describe la trayectoria del aterrizaje es:    

[pic 19]

1. La aceleración vertical del avión no debe sobrepasar un valor constante k. Por tanto:

  [pic 20][pic 21]

El avión conserva una velocidad horizontal  que es constante a lo largo de toda la trayectoria. Como la velocidad es una relación entre el tiempo y el espacio, entonces la velocidad horizontal se puede expresar como sigue:[pic 22]

[pic 23]

Si despejamos la variable x  de la expresión anterior en función del tiempo t,  nos queda:

[pic 24]

Y si reemplazamos   esta expresión de x en el polinomio obtenido en el punto 1,    obtenemos una ecuación de la trayectoria en función del tiempo:

[pic 25]

[pic 26]

La velocidad y la aceleración en función de t quedarían así:

[pic 27]

[pic 28]

Como la aceleración no debe sobrepasar una constante k, se tiene:

[pic 29]

De acuerdo con la ecuación de aceleración en función del tiempo, esta se incrementa a medida que pasa el tiempo. El máximo valor del tiempo, se obtiene cuando la avión a aterrizado, es decir, cuando la avión a recorrido una distancia L horizontal. Por tanto, de acuerdo con la ecuación de velocidad horizontal:  

...