Sensacion y sentidos

SEMANA 4:

Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, diferencia y complemento de un conjunto. Algebra de conjuntos, cardinal de un conjunto potencia. Ejercicios y problemas.

1. Operaciones con conjuntos.

Con respecto a un conjunto universal U y a dos conjuntos A y B se tienen las siguientes operaciones.

1.1 Unión de dos conjuntos [pic 1]

[pic 2]

Es el conjunto formado por la reunión de todos los elementos de A y de todos los elementos de B. Simbólicamente,

[pic 3]

[pic 4]

EJEMPLO.

Dados A={1, 3, 5,…}   ,    B={2, 4, 6,…}

, puesto que se puede expresar[pic 5]

,          [pic 6][pic 7]

[pic 8]

• Son evidentes las siguientes propiedades de la unión:

 A ∪ B = B ∪ A

A ∪ ∅ = A

A ∪ Ac = E

Si B ⊂ A, entonces A ∪ B = A.

1.2 Intersección de dos conjuntos [pic 9]

Es el conjunto de todos aquellos elementos comunes a ambos conjuntos A y B:

[pic 10]

[pic 11]

EJEMPLO.

Dados:        [pic 12]

 , entonces[pic 13]

[pic 14]

 [pic 15]

En efecto,         A={3, 6, 9, 12…}        ,        B={5, 10, 15, 20…}

Y por lo tanto        [pic 16]

NOTA: Si la intersección de dos conjuntos A y B es vacía se dice que A y B son DISJUNTOS. [pic 17]

Ejemplo.

a) En el conjunto E de las letras del abecedario se consideran los conjuntos:

A = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {a, e, i, o, u} y C = {u, v, w}.

[pic 18]

Entonces:

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, i, o, u} y A ∩ B = {a, e}

Los conjuntos A y C son disjuntos: A ∩ C = ∅.

El complementario de B son todas las consonantes.

1.3 Diferencia de conjuntos. [pic 19]

Está constituido por aquellos elementos de A que no pertenecen a B.

[pic 20]

También se denota por:

        , y se le llama complemento de B con respecto al conjunto A.[pic 21]

[pic 22]

EJERCICIO.

Dados los conjuntos:

[pic 23]

  [pic 24]

Hallar los conjuntos diferencia: a) A-B        ,        b) B-A

a) Para hallar A-B se deben ubicar los elementos de A que no pertenezcan a B, es decir, los múltiplos de 3 que no sean múltiplo de 5: Estos son aquellos múltiplos de 3 cuya última cifra no es ni 0 ni 5.

A – B = {3, 6, 9, 12, 18, 21,…}

b) [pic 25]

           [pic 26]

    B - A   = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Este conjunto está constituido por los múltiplos de 5 tales que la suma de sus dígitos no sean múltiplos de 3, como 55, 70, 125,…etc.

EJERCICIO

Demuestre que:        [pic 27]

[pic 28]

                                        [pic 29]

                                        [pic 30]

1.4 Complemento de un conjunto        [pic 31]

Es aquel conjunto formado por todos aquellos elementos del Universo U que NO PERTENECEN al conjunto A, y se denota indistintamente por :[pic 32]

Así,

[pic 33]

[pic 34]

Por ejemplo si el conjunto universal es U= {2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 15, 20} y si

 entonces el complemento de A es:[pic 35]

. [pic 36]

EJERCICIO

Sea el Universo U={1, 2, 3, 4, 5, 9}. Por extensión hallar los conjuntos A y A’, si:

 [pic 37]

Solución.

El conjunto A está formado por aquellos elementos (del universo U) que son cuadrados de elementos de A. Si bien es cierto que para [pic 38]

U= {1, 2, 3, 4, 5, 9} se tiene que el cuadrado x2 podría aparentemente tomar los valores 1, 4, 9, 16, 25 y 81, sin embargo, como A es un subconjunto del UNIVERSO U, entonces solamente debemos considerar x2 = 1, 4 y 9 por ser estos elementos de U. Luego, A= {1, 4, 9} y su complemento A’= {2, 3, 5}

1.5 Diferencia Simétrica [pic 39]

Es el conjunto formado por la reunión de aquellos elementos que pertenecen exclusivamente a uno solo de los conjuntos A o B:

 [pic 40]

  [pic 41]

Algunas propiedades de la diferencia simétrica son:

a) [pic 42]

b) [pic 43]

c) [pic 44]

d) [pic 45]

f) [pic 46]

EJEMPLO.

Si A= {2, 3, 4, 5 , 6, 7}        ,        B= {1, 4, 6, 7, 9}

Entonces:         ,         ,        y[pic 47][pic 48]

        [pic 49]

1.6 Producto cartesiano de conjuntos.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que de denota por A × B, es el conjunto formado por los pares de elementos (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B.

Simbólicamente

A × B = {(a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B}

...