Serie Binomial
Enviado por juliozzzz • 30 de Octubre de 2013 • 463 Palabras (2 Páginas) • 507 Visitas
CALCULO DE LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS
La aplicación propuesta está desarrollada en lenguaje Java y se encarga de realizar operaciones de logaritmización y el proceso inverso, la antilogaritmización; en este caso para los sistemas logarítmicos de base e y 10, es decir Logaritmos Naturales o de Neper y Logaritmos Decimales, Vulgares o de Briggs. Auxiliandose para ello de series de potencias.
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Para calcular la función ln(x) se debe desarrollar en una serie de potencias (respecto al binomio (x-a) donde a=1); con ayuda de la formula de Taylor...
Desarrollando las primeras n derivadas de la función ln(x) y evaluandolas en 1 (a=1) ...
Substituyendolas en la serie de Taylor...
Simplificando...
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*Válida para el intervalo (0 < x < 2)
Para lograr realizar el calculo de los Logaritmos Naturales de números mayores o iguales a 2 se debe deducir una nueva serie de potencias para la cual dichos valores puedan ser calculados.
La serie de ln(x) se puede desarrollar de la siguiente forma...
Para (1-x)...
La substracción término a término de dos series convergentes da como resultado otra serie convergente y como las dos anterieres lo son; se resta la segunda a la primera serie y resulta...
Si se substituye...
La serie resultante podrá calcular los Logaritmos Naturales de cualquier número mayor o igual a 2; conociendo el Logaritmo Natural del número que es una unidad menor, por ello esta serie puede ser códificada en un programa recursivo cuyo caso base será ln(2) ya que el número anterior ln(1)=0
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Para realizar el cálculo del Logaritmo Decimal de cualquier número, conociendo previamente su Logaritmo Natural, simplemente se aplica la regla de los Logaritmos para el cambio de base...
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Para la función f(x)=eˆx se desarrolla en series de potencias de McLaurin...
Desarrollando las primeras n derivadas de la función f(x)=eˆx y evaluandolas en 0...
Substituyendolas en la serie de McLaurin y simplificando...
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La función f(x)=aˆx (con a=10) se desarrolla también series de potencias de McLaurin...
Desarrollando las primeras n derivadas de la función y evaluandolas en 0...
Finalmente substituyendolas en la serie de McLaurin...
Simplificando...
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