Series

4.2.- Serie numérica y convergencia prueba de la razón (criterio de D’Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy)

Una serie numérica es una suma de infinitos terminos.

Si estos infinitos términos suman un numero real es convergente y si suman infinito es divergente (bueno tb es divergente si la serie oscila...)

Una cosa es estudiar la convergencia de una serie (si converge o diverge) y otra cosa es hallar el valor de dicha suma.

Una forma de hallar esta suma es hallando el limite de k cuando tiende a infinito de las sumas parciales de los k primeros terminos (una suma finita muchas veces es "facil" de calcular y el limite tambien). Si no existe este limite es cuando la serie oscila (y por tanto diverge)

Para poder saber si es convergente o divergente muchas veces se utilizan criterios de comparación con otras series que sabes que convergen o divergen.

Por ejemplo la serie 1/n diverge pero la serie 1/n^2 converge..curioso no?

1+1/2+1/3+1/4+······+1/n+····= infinito

en cambio 1+1/4+1/9+1/16+····+1/n^2+···· = (pi^2)/6

Criterio de D’Alembert:

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).

Si existe

Con, el Criterio de D'Alembert establece que:

* si L < 1, la serie converge.

* si L > 1, entonces la serie diverge.

* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy:

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

* L < 1, la serie es convergente.

* L > 1 entonces la serie es divergente.

* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión

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