Series
Enviado por fercota21 • 28 de Mayo de 2014 • Tarea • 597 Palabras (3 Páginas) • 254 Visitas
Una serie de potencias es aquella que tiene la forma:
∑_(n=0)^∞▒〖a_n x^n= a_0+a_1 x〗+a_2 x^2+a_3 x^3+ . . .+ a_n x^n+ . . .
De manera más general, una serie infinita de la forma
∑_(n=0)^∞▒〖a_n 〖(x-c)〗^n= a_0+a_1 (x-c)+a_2 〖(x-c)〗^2+ . . . + a_n 〖(x-c)〗^n + . . .〗
Se llama serie de potencias centrada en c, donde c es una constante y x una variable.
Ejemplo:
La serie de potencias siguiente está centrada en 0.
∑_(n=0)^∞▒〖x^n/n!=1+x+x^2/2+x^3/3+ . . .〗
La serie de potencias siguiente está centrada en 1.
∑_(n=0)^∞▒〖1/n 〖(x-1)〗^n=(x-1)+1/2 〖(x-1)〗^2+1/3 〖(x-1)〗^3+ . . .〗
Una serie de potencias en x puede verse como una función de x
f(x)=∑_(n=0)^∞▒〖a_n 〖(c-c)〗^n 〗
= a_0 (1)+0+0+⋯+0+⋯= a_0
Así, c siempre queda en el dominio de f. Hay un teorema que establece que el dominio de una serie de potencias puede tomar tres formas básicas: un solo punto, un intervalo centrado en c, o toda la recta real.
4.4 RADIO DE CONVERGENCIA
En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de
una serie de la forma con a_n,x,c ∈ R viene dado por la expresión:
R=1/lim┬(n→∞)|a_(n+1)/a_n |
Convergencia de una serie de potencias
Para una serie de potencias centrada en c, exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera.
La serie converge sólo en c.
Existe un número real R>0 tal que la serie converge absolutamente para |x-c|<R, y diverge para |x-c|>R.
La serie converge absolutamente para todo valor de x.
El número R es el radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serie sólo converge en c, el radio de convergencia es R=0, y si la serie converge para cualquier valor de x, el radio de convergencia es R=∞. El conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie de potencias converge es el intervalo de convergencia de la serie de potencias.
En muchos casos podemos determinar el radio de convergencia de una serie de potencias con la ayuda del criterio de D’Alembert.
Ejemplo: Hallar el radio de convergencia de
Solución: Para x≠2,"sea " u_n=3(x-2)^n. Entonces
lim┬(n→∞)|u_(n+1)/u_n |=lim┬(n→∞)|(3〖(x-2)〗^(n+1))/(3〖(x-2)〗^n )|= lim┬(n→∞)|x-2|
=|x-2|
Utilizando el criterio de D’Alembert, la serie converge si |x-2|<1 y diverge si |x-2|>1. Por consiguiente, el radio de convergencia de la serie es R=1.
4.5 SERIE DE TAYLOR
Es un procedimiento general para obtener la serie de potencias para una función que tiene derivadas de todos los órdenes. El teorema siguiente da la forma que debe tomar toda serie
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