Una serie

martes

4.1 Series

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Pir ejemplo, 1,4,9,16,25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o seri esfinita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o seriede llamasucesión infinita.

El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

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4.1.1 Serie Infinita

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

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4.1.2 Serie Finita

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero)

y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

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4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz.

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

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4.3 Serie de potencias

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo

donde Es decir

Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes.

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4.5 Serie de Taylor

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi expresando la serie de Taylor como:

Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas.

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4.6 Representación de funciones mediante serie de Taylor

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

Existen series de Taylor

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