Series De Tiempo

Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de Tijuana

Materia: Estadística inferencial II

Unidad 5: Series de tiempo

Presenta: Reyes Luis

Maestro: Ing. Jorge González Resendiz

18 de Noviembre de 2014, Tijuana, BC.

Series de tiempo

Una serie de tiempos es una secuencia de observaciones, medidas en determinados momentos del tiempo, ordenados cronológicamente y, espaciados entre sí de manera uniforme, así los datos usualmente son dependientes entre sí. El principal objetivo de una serie de tiempos Xt, donde t = 1,2,…, n es un análisis para hacer un pronósticos

Las series de tiempo se pueden usar en diferentes campos como:

• Economía y marketing

Proyecciones del empleo y desempleo.

Evolución del índice de precios de algún producto.

Beneficios netos mensuales de cierta entidad bancaria.

• Demografía

Número de habitantes y tasa de mortalidad por año.

• Medioambiente

Lluvia recogida diariamente en una localidad.

Temperatura media mensual.

Modelo clásico de series de tiempo

El análisis clásico de las series de tiempo se basa en la suposición de que los valores que toma la variable de observaciones es la consecuencia de tres componentes, cuya actuación conjunta da como resultado los valores medidos.

Modelos de descomposición

Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término de error aleatorio.

Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados.

Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)

2. Multiplicativo: X(t) = T(t) • E(t) • A(t)

3. Mixto: X(t) = T(t) • E(t) + A(t)

Donde:

X(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia

E(t) componente estacional

A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.

Un modelo aditivo, es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo. Es claro que el modelo multiplicativo puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

Representación grafica de los modelos 1, 2 y 3.

Modelo de estimación de la tendencia

Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en la relación al nivel medio, o el cambio largo plazo de la media. La tendencia se identifica con un movimiento suave de la serie a largo plazo. Siguiendo con el ejemplo anterior:

Supondremos aquí que la componente estacional E(t) no está presente y que el modelo aditivo es adecuado, esto es:

X(t) = T(t) + A(t), donde A(t) es ruido blanco.

Hay varios métodos para estimar T(t). Los más utilizados consisten en:

1) Ajustar una función del tiempo, como un polinomio, una exponencial u otra función suave de t.

2) Suavizar (o filtrar) los valores de la serie.

3) Utilizar diferencias.

Ajuste de una función

Los siguientes gráficos ilustran algunas de las formas de estas curvas.

1.T(t) = a + bt (Lineal)

2.T(t) = a ebt (Exponencial)

3. T(t) = a + b ebt

(Exponencial modificada)

4.T(t) = b0 + b1t ,...,+bmtm (Polinomial)

5.T(t) = exp(a + b(rt))

(Gompertz 0 < r < 1)

6. T(t) = (Logística)

Hay que tener en cuenta que la curva de tendencia debe cubrir un periodo relativamente largo para ser una buena representación de la tendencia a largo plazo. La tendencia rectilínea y exponencial son aplicable a corto plazo, puesto que una curva S a largo plazo puede parecer una recta en un período restringido de tiempo (por ejemplo).

En la figura anterior ambas curvas (recta y Gompertz) ajustan bien pero las proyecciones divergen enormemente a largo plazo.

Modelo estacional

Muchas series de tiempo presentan cierta periodicidad o dicho de otra manera, variación de cierto periodo, por ejemplo las ventas de rosas aumentan en las fechas festivas como el 14 de febrero y el 10 de mayo, estos efectos son fáciles de entender y se pueden medir explícitamente o incluso se pueden eliminar de la serie de datos, a este proceso se le llama des estacionalidad de la serie.

Análisis de tendencias

Las tendencias a largo plazo (sin alteraciones de una serie de tiempo) de las ventas, el empleo, los precios de las acciones, y otras series económicas y comerciales.

Muchas variables macroeconómicas, como el Producto Nacional Bruto (PNB), el empleo y la producción industrial están dominadas por una fuerte tendencia.

La tendencia de una serie de tiempo es el componente de largo plazo que representa el crecimiento o disminución en la serie sobre un periodo amplio. Las fuerzas básicas que ayudan a explicar la tendencia de una serie son el crecimiento de la población, la inflación de precios, el cambio tecnológico y los incrementos en la productividad.

La siguiente figura muestra gráficamente la recta de tendencia ajustada a los datos trimestrales. La recta de trazos después de 1972 representa proyecciones (ver sección 3 Predicciones).

Es decir, Movimientos seculares contienen los movimientos suaves de largo plazo, los cuales están dominados fundamentalmente por factores de tipo económico.

Análisis de variaciones cíclicas

Es la segunda componente de un serie de Tiempo es la Variación Cíclica; ascenso y descenso de una serie de Tiempo en periodos mayores de un año.

El componente cíclico es la fluctuación en forma de onda alrededor de la tendencia, afecta por lo regular por las condiciones económicas generales. Los patrones cíclicos tienden a repetirse en los datos aproximadamente

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