SERIES DE TIEMPO

UNIDAD 5

SERIES DE TIEMPO

5.1. Modelo clásico de series de tiempo

5.2. Análisis de fluctuaciones

5.3. Análisis de tendencia

5.4. Análisis de variaciones cíclicas

5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares

5.6. Aplicación de ajustes estacionales

5.7. Pronósticos basados en factores de

5.8. Tendencia y estacionales.

UNIDAD 5

SERIES DE TIEMPO

5.1. Modelo clásico de series de tiempo

Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia,estacionalidad y un término de error aleatorio.

Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)

2. Multiplicativo: X(t) = T(t) • E(t) • A(t)

3. Mixto: X(t) = T(t) • E(t) + A(t)

Donde:

X(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia

E(t) componente estacional

A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.

Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

La figura 2.1 ilustra posibles patrones que podrían seguir series representadas por los modelos (1), (2) y (3).

Figura 2.1

2.2 ESTIMACIÓN DE LA TENDENCIA

Supondremos aquí que la componente estacional E(t) no está presente y que el modelo aditivo es adecuado, esto es:

X(t) = T(t) + A(t), donde A(t) es ruido blanco.

Hay varios métodos para estimar T(t). Los más utilizados consisten en:

1) Ajustar una función del tiempo, como un polinomio, una exponencial u otra función suave de t.

2) Suavizar (o filtrar) los valores de la serie.

3) Utilizar diferencias.

2.2.1 AJUSTE DE UNA FUNCIÓN

Los siguientes gráficos ilustran algunas de las formas de estas curvas.

1.T(t) = a + bt (Lineal)

2.T(t) = a ebt (Exponencial)

3. T(t) = a + b ebt

(Exponencial modificada)

4.T(t) = 0 + 1t ,...,+mtm (Polinomial)

5.T(t) = exp(a + b(rt))

(Gompertz 0 < r < 1)

6. T(t) = (Logística)

Nota:

i. la curva de tendencia debe cubrir un periodo relativamente largo para ser una buena representación de la tendencia a largo plazo.

ii. La tendencia rectilínea y exponencial son aplicable a corto plazo, puesto que una curva S a largo plazo puede parecer una recta en un período restringido de tiempo (por ejemplo).

Figura 2.2

En la figura 2.2 ambas curvas (recta y Gompertz) ajustan bien pero las proyecciones divergen enormemente a largo plazo.

Ejemplo 1: En la tabla 2.1 se presentan los datos trimestrales de unidades habitacionales iniciadas en los Estados Unidos desde el tercer trimestre de 1964 hasta el segundo trimestre de 1972 [1]. (Es necesario advertir que para el análisis de tendencia el periodo que se considera debería ser más largo. Sin embargo, ya que el propósito principal es el de ilustrar el método de descomposición y las técnicas para inferir partiendo de los elementos así descompuestos, la insuficiencia de los datos no tiene por qué interesar.)

Tabla 2.1: Nuevas unidades habitacionales comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 1964 al segundo trimestre de 1972 (en miles de unidades).

Año I II III IV Total Anual

1964 398 352

1965 283 454 392 345 1,474

1966 274 392 290 210 1,166

1967 218 382 382 340 1,322

1968 298 452 423 372 1,545

1969 336 468 387 309 1,500

1970 264 399 408 396 1,467

1971 389 604 579 513 2,085

1972 510 661

Fuente: U.S. Department of Comerse, Survey of Current Bussiness.

Sea t cada uno de los 32 trimestres que van de 1964 a 1972, o sea que t = 1 para el tercer trimestre de 1964, t = 2 para el cuarto trimestre, y así sucesivamente. Así que el dominio de definición de t es el conjunto de los enteros de 1 a 32 inclusive. Sea T(t) las iniciaciones de viviendas trimestralmente. Los valores de t y T(t) se dan en la tabla 2.2. Para calcular los valores de a y de b en la recta de tendencia

T(t) = a + bt

Se obtienen las siguientes cifras a partir de los datos de la tabla 2.1.

Tabla 2.2: Cálculo de la tendencia de las viviendas comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 1964 al segundo trimestre de 1972

Año trimestre t T(t) Tendencia

1964: 3 1 398 291,73

4 2 352 298,07

1965: 1 3 283 304,41

2 4 454 310,75

3 5 392 317,09

4 6 345 323,43

1966: 1 7 274 329,77

2 8 392 336,11

3 9 290 342,45

4 10 210 348,79

1967: 1 11 218 355,13

2 12 382 361,47

3 13 382 367,81

4 14 340 374,15

1968: 1 15 298 380,49

2 16 452 386,83

3 17 423 393,17

4 18 372 399,51

1969: 1 19 336 405,85

2 20 468 412,19

3 21 387 418,53

4 22 309 424,87

1970: 1 23 264 431,21

2 24 399 437,55

3 25 408 443,89

4 26 396 450,23

1971: 1 27 389 456,57

2 28 604 462,91

3 29 579 469,25

4 30 513 475,59

1972: 1 31 510 481,93

2 32 661 488,27

Entonces, la recta de tendencia es

T(t) = 285,39 + 6,34 t

La figura 2.3 muestra gráficamente la recta de tendencia ajustada a los datos trimestrales de la tabla 2.2. La recta de trazos después de 1972 representa proyecciones (ver sección 3 Predicciones).

Figura 2.3

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